3. Теорема о математическом ожидании биномиального закона распределения

Пусть производится «п» независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна «р». Чему равно среднее число появле­ний события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема.

Математическое ожидание М(Х) числа по­явлений события А в «n» независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число наступления события А в «n» независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появ­лений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому, если X₁ – число появлений события в первом испытании, Х₂ – во втором, …, Х_n – в «n» - м, то общее число появления события Х = X₁ + Х₂ + …. + Х_n.

По третьему свойству математического ожидания,

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М(Х₁) – в первом, М(Х₂) – во втором и т.д.

Так как математическое ожидание числа появ­лений события в одном испытании равно вероятности события «p» (см. пример 2 учебного вопроса 1 данной лекции), то М(Х₁) = М(Х₂) = М(Х₃) =… = М(Х_n) = p.

Подставляя в правую часть равенства (*) вместо каждого слагаемого р, получим

Замечание. Так как величина Х распределена по биноми­альному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с па­раметрами «n» и «р» равно произведению «пр».

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р= 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от ис­ходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события незави­симы и, следовательно, искомое математическое ожидание

Дисперсия дискретной случайной величины и формула для ее вычисления.

1.1 Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины

Легко указать такие случайные величины, кото­рые имеют одинаковые математические ожидания, но раз­личные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины Х и Y, заданные сле­дующими законами распределения:

Найдем математические ожидания этих величин:

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем Х имеет воз­можные значения, близкие к математическому ожиданию, а У—далекие от своего математического ожидания.

Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рас­сеяны вокруг математического ожидания.

Другими сло­вами,

математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики.

Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характе­ристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению и свойствам дис­персии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.