- •Предмет теории вероятностей
- •2. Понятие события. Виды событий.
- •Виды случайных событий
- •3. Классическое и статистическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики
- •3.1 Классическое определение вероятности.Свойства вероятности.
- •3.2 Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
- •3.3 Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность.
- •3.4 Основные формулы комбинаторики
- •Решение. Искомое число способов
- •1. Понятие суммы и произведения событий.
- •2. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий и событий, образующих полную группу событий
- •Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.2. Полная группа событий
- •Теорема сложения вероятностей противоположных событий. Принцип практической невозможности маловероятных событий.
- •3.1 Противоположные события
- •3.2. Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •2. Теоремы умножения для зависимых и независимых событий.
- •Теорема о вероятности появления хотя бы одного независимого
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •2. Формула полной вероятности
- •Деталь может быть извлечена , либо из первого набора (событие в1), либо из второго (событие в2).
- •3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •1) Деталь проверил первый контролер (гипотеза в1);
- •2) Деталь проверил второй контролер (гипотеза b2).
- •1. Формула Бернулли
- •2. Локальная теорема Лапласа
- •3. Интегральная теорема Лапласа
- •Случайная величина
- •Дискретные и непрерывные случайные величины
- •2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .
- •3. Биномиальный закон распределения .
- •4 . Распределение Пуассона
- •5 . Геометрическое распределение .
- •Понятие и вероятностный смысл математического ожидания дискретной случайной величины
- •Вероятностный смысл математического ожидания Пусть произведено «n» испытаний, в которых слу-
- •2. Свойства математического ожидания
- •Математическое ожидание случайной величины сх:
- •3. Теорема о математическом ожидании биномиального закона распределения
- •Дисперсия дискретной случайной величины и формула для ее вычисления.
- •1.1 Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •1.2 Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •1.3 Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.4. Формула для вычисления дисперсии
- •2. Свойства дисперсии и их следствия.
- •Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем
- •Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (дисперсия биномиального закона распределения)
- •3. Среднеквадратическое отклонение одной и суммы независимых случайных величин.
- •Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •4. Сущность и значение для практики теоремы Чебышева.
- •2. Свойства функции распределения
- •3. График функции распределения
- •1. Определение и свойства плотности распределения.
- •Свойства плотности распределения
- •2. Взаимосвязь функции и плотности распределения вероятностей.
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Предмет теории вероятностей
Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением». При научном исследовании различных физических, технических и экономических задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными.
Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
Приведем примеры случайных явлений.
1. Производится стрельба из орудия, установленного под заданным углом к горизонту (рис. 1.1.1).
Пользуясь методами внешней баллистики (науки о движении снаряда в воздухе), можно найти теоретическую траекторию снаряда (кривая К на рис. 1.1). Эта траектория вполне определяется условиями стрельбы: начальной скоростью снаряда 0, углом бросания 0 и баллистическим коэффициентом снаряда с. Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько отклоняется от теоретической за счет совокупного влияния многих факторов. Среди этих факторов можно, например, назвать: ошибки изготовления снаряда, отклонение веса заряда от номинала, неоднородность структуры заряда, ошибки установки ствола в заданное положение, метеорологические условия и т. д. Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях ( 0 , 0 , с), мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок или «сноп» траекторий, образующий так называемое «рассеивание снарядов».
Рис.1.1. Пример случайных явлений (траекторий полёта снарядов) при стрельбе из орудия при одинаковых условиях стрельбы
Формирование и обработка плановых и запущенных производственных заказов на предприятии.
Затраты предприятия на процесс производства производимой продукции в различные интервалы времени (в месяц, в квартал, в течение года).
Бюджетное и финансовое планирование работы предприятия.
Совершенно очевидно, что в природе (в различных сферах жизнедеятельности человечества) нет ни одного физического (социально-экономического) явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.
Цель всех вероятностных методов исследования различных случайных процессов и явлений заключается в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) изучение отдельного явления, обусловленного слишком большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явлений (процессов).
Изучение этих законов позволяет не только осуществлять научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, сужать ее влияние на практику.
Вероятностный, или статистический, метод в науке не противопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.
В настоящее время нет почти ни одной естественной и социальной науки, в которой в том или ином виде не применялись бы вероятностные методы. Целые разделы современной физики (в частности, ядерная физика) базируются на методах теории вероятностей. Все шире применяются вероятностные методы в современной электротехнике и радиотехнике. Широко пользуются статистическими методами современная экономика и социология.
Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.). В работах этих учёных постепенно сформировались понятия «Вероятность», «Событие», «Частота» и др. Эти учёные решали первые задачи теории вероятностей – обшей теории страхования, учёт заболеваемости населения, смертности, статистика насчастных случаев
Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов. «При достаточно большом числе опытов, с практической достоверностью, можно ожидать сколь угодно близкого совпадения частот появления события с его вероятностью».
Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Моавру (1667 – 1754 г.г.) - обосновал своеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях – так называемый Нормальный закон (иначе закон – Гаусса);
П.Лапласу (1749-1827г.г.) - впервые дал стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей, привёл доказательство центральной предельной теоремы (теоремы Моавра – Лапласа) развил ряд приложений для ТВ и МС к вопросам практики, в частности к анализу ошибок наблюдений и измерений;К.Гауссу (1777-1855г.г.) – разработал метод обработки экспериментальных данных («метод наименьших квадратов»); С. Пуассону (1781-1840) – доказал общую форму закона больших чисел, впервые применил теорию вероятностей к задачам стрельбы и др.
Новый, наиболее плодотворный период для всего XVIII и начала XIX века связан с именами учёных Петербургской математической школы:
В.Я. Буняковского (1804-1889г.г.) – автор первого курса теории вероятностей на русском языке, создатель современной русской терминологии в теории вероятностей; П. Л. Чебышева (1821—1894 г.г.) (расширил и обобщил закон больших чисел, ввёл мощный метод моментов различных порядков) и его учеников А.А.Маркова (1856—1922г.г.) (ученик Чебышева – заложил теорию случайных, или «стохастических» процессов, которая составляет основное содержание новейшей, современной теории вероятностей. ) и А.М.Ляпунова (1857—1918г.г.) (ученик Чебышева – доказал центральную предельную теорему при очень общих условиях, разработал метод характеристических функций). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой.
Ее последующее развитие (XIX – XX века) обязано в первую очередь русским и советским математикам: С. Н. Бернштейн - разработал первую законченную аксиоматику теории вероятностей, расширил область применения предельных теорем; В. И. Романовский (1879-1954г.г.) – разработал широко применяемые на практике законы по статистике, А. Н. Колмогоров - дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, множество фундаментальных работ в области теории случайных функций, в области оценки эффективности сложных систем; А. Я.Хинчин (1894 – 1959г.г.) – множество работ в области исследования стационарных случайных процессов, Б. В. Гнеденко – работы в области тории массового облуживания; Н. В. Смирнов – работы в области математической статистики и др.), а также зарубежным математикам - Н.Винер, В. Феллер, Р.Фишер, Д.Нейман и др. – в основном работы в области случайных процессов и математической статистики.