Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:
Доказательство. Используем соотношение
По формуле Ньютона—Лейбница,
Таким образом,
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), равна площади криволинейной трапеции, ограни-
Замечание. В частности, если f(x)—четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (6,5; 1).
Решение. Искомая вероятность
