Вероятностный смысл математического ожидания Пусть произведено «n» испытаний, в которых слу-

нятых случайной величиной, для чего разделим найден­ную сумму на общее число испытаний:

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероят­ности появления события

Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х). Итак,

Вероятностный смысл полученного результата таков:

математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифмети­ческому наблюдаемых значений случайной величины.

Замечание 1. Легко сообразить, что математическое ожида­ние больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значе­ний. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания.

В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение рас­пределения и поэтому его часто называют центром распреде­ления.

Итак, математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы—их вероятностям.

Замечание 2. Происхождение термина «математическое ожи­дание» связано с начальным периодом возникновения теории вероят­ностей (XVI—XVII вв.), когда область ее применения ограничива­лась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожи­даемого выигрыша, или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.

2. Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание по­стоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство. Будем рассматривать постоян­ную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно.

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Напри­мер, если вероятность возможного значения x₁ равна p₁, то вероят­ность того, что величина СХ примет значение Сх₁, также равна р₁.

Свойство 2.

Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:

Математическое ожидание случайной величины сх:

Итак,

Замечание 2.

Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.

Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3.

Определим произведение независимых случай­ных величин Х и У как случайную величину XY, возможные зна­чения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение У; Вероятности возможных значе­ний произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

Например, если вероятность возможного

Свойство 3.

Математическое ожидание произведе­ния двух независимых случайных величин равно произведе­нию их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть независимые случайные величины Х и У заданы своими законами распределения вероятностей:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все воз­можные значения Х на каждое возможное значение У

чание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

или

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

Пример 1. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Для упрощения выкладок мы ограничились малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное.

Случайные величины Х и У независимые, поэтому искомое ма­тематическое ожидание

Замечание 4. Определим сумму случайных величин XиY как случайную величину X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным зна­чением У;

вероятности возможных значений X+Y для независимых величин Х и У равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Заметим, что некоторые суммы х+у могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы

Следующее ниже свойство справедливо как для неза­висимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Доказательство. Пусть случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

Составим все возможные значения величины X+Y.

Для этого к каждому возможному значению Х прибавим

возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их ве

Математическое ожидание величины Х + Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

или

Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возмож­ными значениями каждой из величин. В общем случае доказатель­ство аналогичное.

Подставляя правые части этих равенств в соотноше­ние (*), получим

или окончательно

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математичес­ких ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем

Для произвольного числа слагаемых величин доказа­тельство проводится методом математической индукции.

Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁==0,4; p₂==0,3 и р₃=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть слу-

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоя­щая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Искомое математическое ожидание находим по теореме о мате- магическом ожидании суммы:

Пример 3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Х и на второй—через У. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероят­ность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

Очевидно, что и М (У) ==7/2.

Искомое математическое ожидание

М (X + У) = М (X) + М У) = 7/2 + 7/2 = 7.