2. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁ ,В_{2 ,} ... , Вn (гипотез), которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий (Р(В_i) и условные вероятности Р_В1(А), Р_В2(А),… Р_Вn(А) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несо­вместных событий B₁ B₂, ...,Вп образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероят­ность события А:

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В_{1 ,} B_{2 ,} ..., В_{п .} Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А, В₂А_, В₃А,….., В_ПА.

Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложе­ния. Для несовместных событий получим

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Подставив правые части этих. равенств в соотноше­ние (*), получим формулу полной вероятности

Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора)—стандартная.

Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».

Деталь может быть извлечена , либо из первого набора (событие в1), либо из второго (событие в2).

Вероятность того. что деталь вынута из первого набора.

Р(В₁)=1/2.

Вероятность того, что деталь вынута из второго набора.

Р(В₂)=1/2.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь-стандартная, по формуле полной вероятности равна

3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, В₃,…. В_n,образующих полную группу.

Поскольку заранее неиз­вестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Вероятность появления события А опреде­ляется по формуле полной вероятности (см. 2-ой учебный вопрос ):

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что собы­тие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

О тсюда

Заменив здесь Р (А) по формуле (*). получим

Аналогично выводятся формулы, определяющие услов­ные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы В_i (i = 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле:

Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как ста­новится известным результат испытания , в итоге кото­рого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Веро­ятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму—0,4. Вероятность того, что годная деталь будет приз­нана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым—0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предполо­жения (гипотезы):