31.Правила выбора ключевого столбца и строки при решении задачи лп симплексным методом, последствия неправильного выбора

Ключевой столбец – тот, у которого коэффициент свободной переменной в функции цели является наименьшим отрицательным. Ключевая строка выбирается исходя из минимума соотношений вi на aij>0. При неправильном выборе условие неотрицательности свободных переменных не будет соблюдено, следовательно, неотрицательные базисные решения получены не будут.

32.Введение балансовых переменных в систему ограничений задачи лп: цель и правило введения

Балансовые переменные вводятся в систему ограничений с целью преобразования СЛАН с n переменными в СЛАУ с n+m переменными, где m – количество линейных уравнений/неравенств.

“балансовые”=”дополнительные”-чтобы приравнять неравенство в равенство.

33.Введение искусственных переменных в систему ограничений задачи лп при решении задачи лп методом искусственного базиса: цель и правило введения

В каждое i-ое ограничение вводим искусственную переменную X_n+i >0. Всего m новых искусственных переменных. Новая система ограничений характерна тем, что искусственные переменные сразу можно взять в качестве базисных и решать полученную задачу симплекс-методом.

Метод искусственного базиса применяется к решению задач линейного программирования в общем случае, когда система ограничений не имеет предпочитаемого вида.

Пусть требуется минимизировать (1) при ограничениях:

(2)

. (3)

К данной задаче ЛП непосредственно нельзя применить симплексный метод, т.к. система (2) не имеет предпочитаемого вида, хотя правые части всех ее уравнений можно считать неотрицательными. Поэтому к левой части каждого уравнения системы (2) добавим по одной искусственной неотрицательной неизвестной и образуем следующую систему m линейных уравнений с n+m неизвестными:

(4)

где (5)

Очевидно, в системе (4) неизвестные образуют базисный набор, который принято называть искусственным. Кроме того, образуем искусственную линейную форму: (6) и сформулируем следующую вспомогательную задачу линейного программирования: минимизировать линейную форму (6) при линейных ограничениях (4) и (5).

Для решения вспомогательной задачи можно применить симплексный метод, так как система (4) имеет предпочитаемый вид, искусственные неизвестные являются базисными, а правые части всех уравнений неотрицательны.

34.В каком случае процесс решения задачи лп симплекс-методом является конечным?

Один шаг симплекс-метода состоит в работе с конкретным базисным решением и заключается в следующем:

1)вычисляется симплекс-разности для всех свободных переменных:

c_j-c_Bq_j , j=m+1, m+n;

2)определяется максимальная симплекс-разность

c_s –c_Bq_s =max (c_j- c_Bq_j )

m+1≤j≤m+n

(если разность положительна,переходим к след пункту,если нет то алгоритм закончен)

3)в базис вводится переменная Хs, а выводится переменная Xr, для которой

Эти шаги повторяются до тех пор,пока на некотором шаге все симплекс-разности станут неположительными.Тогда оптимальное решение получено.

Когда возможно найти оптимальное решение Х= (х1,х2, ..хn), при котором все симплекс-разности (∆) отрицательны.