59.Что такое многокритериальная задача?

Задачи многокритериальной, или векторной, оптимизации возникают в тех случаях, когда имеется несколько целей, которые не могут быть отражены одним критерием (стоимость, надежность и т.п.)

Математически такая задача содержит область допустимых решений, которая может иметь любую природу, и несколько целевых функций, значение которых должно максимизироваться или минимизироваться в данной области. Максимизация и минимизация целевых функций легко сводятся друг к другу умножением на -1, поэтому, не нарушая общности, можно считать, что данная задача имеет вид:

Fi(x) →max (i= 1,2,…, n)

x € D

x - ? ,

где D- область допустимых значений

60.Что такое рекорд в методе ветвей и границ?

Рекорд- это такое оптимальное значение целевой функции на частичной задачи, которое позволяет оставшиеся части более не рассматривать.

61.Приведите пример задачи целочисленного линейного программирования

Решить задачу ЦЛП:

f(x₁,x₂)= 2x₁+3x₂ → max,

5x₁+7x₂ ≤ 35,

4x₁+9x₂ ≤ 36,

x₁, x₂ ≥ 0,

x₁,x₂ - целые

Задачу решить можно методом прямого перебора. Организуем 2 цикла: 1-й по x1 от 0 до 9, 2-й, встроенный в первый, - по x2 от 0 до 5. Оператор тела цикла проверяет, удовлетворяет ли точка (x₁, x₂) обоим неравенствам, вычисляется значении функции f(x₁, x₂) и сравнивается с запомненным наилучшим решением.

62.Приведите пример задачи параметрического линейного программирования.

Параметрическое программирование представляет собой один из разделов математического программирования, изучающий задачи, в которых целевая функция или ограничения зависят от одного или нескольких параметров.

Рассмотрим задачу минимизации

L(X, λ) = λX₁ - λX₂ - λX₃ + λX₄

при условиях

3X₁ - 3X₂ - X₃ + X₄ ≥ 5;

2X₁ - 2X₂ + X₃ - X₄ ≤ 3;

X_k ≥ 0,   k = 1 ... 4;    -∞ < λ < ∞.

63.Приведите пример многокритериальной задачи

z₁= 4x₁+10x₂ → max

z₂=x₁+x₂ →max

x₁+2x₂ ≤ 40

x₁, x₂ € Z

x₁, x₂ ≥0

x₁, x₂ - ?

64.Сформулируйте условие окончания ветвления при решении задач методом виг.

Основная идея метода «ветвей и границ» состоит в разбиении множества допустимых решений на подмножества, которые, в свою очередь, разбиваются на подмножества и т.д. При этом среди возникающих подмножеств могут быть такие, которые не содержат допустимых решений или заведомо не содержат оптимальных решений. Если это удается определить на некотором этапе с помощью тех или иных оценок, то такие подмножества исключаются из дальнейшего рассмотрения. В результате решение находится частичным перебором.

Критерии окончания ветвления:

В задаче на максимум в начале решения граничное значение целевой функции, или рекорд, полается равным - ∞ .

1. Получена задача, не имеющая решения. Это становится все более вероятным с увеличением глубины ветвления, когда все большее число ограничений вида x_i ≤ [{x_i⁰] , или x_i ≥ [{x_i⁰] +1 добавляется к уже существующим ограничениям( так, что все более вероятным становится несовместимость системы ограничений получаемых задач).

2. Если находится новое целочисленное решение, то оно сравнивается с рекордом; если прежний рекорд превзойден, то запоминается новый рекорд, в противном случае остается старый.

3. Получаемое оптимальное нецелочисленное решение задачи на какой-то стадии ветвления сравнивается с рекордом; если это значение меньше, чем рекорд, то ветвление задачи прекращается, так как нет возможности побить рекорд.

Непобитый рекорд дает оптимальное решение исходной задачи ЦЛП.