25.В каком случае задача оптимального производственного планирования не имеет оптимального плана? Ответ обосновать.
«задача оптимального производственного планирования» - «линейного производства»
(«≤», max).
Отсутствие оптимального решения – неограниченность целевой функции.
Х3 Х5 Х7
Х1 300 1 -1 0 0
Х5 250 0 -3 1 0
Х7 0 -4 0 1
10
250 = - 3Х3+Х5
Х5=250 + 3Х3
Отсутствие оптим реш – неограничен целевой функции. Отсутствие конечного оптимума (Fmax=∞ или Fmin=-∞). Вывод: Если на к-либо шаге получаем, что во всех уравнениях системы бесконечны оценочные отношения той переменной, которая переводится в основные, то задача не имеет конечного оптимума (Fmax=∞, если задача на отыскание макимума, и Fmin=-∞, если задача на отыскание минимума). если система ограничений непротиворечива, то выполнение конечного числа последовательных шагов симплексного метода приводит к нахождению оптимального решения задачи (оно может быть неединственным), либо к установлению того факта, что линейная функция не имеет конечного оптимума.
26.В каком случае при решении задачи линейного программирования симплекс-методом значения линейной функции двух последовательных планов могут совпасть? Ответ обосновать
П0 Х0 Х3 Х5 Х7 β
Х1 1 -1 0 0
Х5 * 0 -3 1 0
Х7 0 -4 0 1
1240 -10 -10/3
1240 – β • * ≠ 0
Значения линейной функции двух последовательных планов могут совпадать, если среди базисного плана есть 0 – вырожденный план
27.Сформулировать и доказать условие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений при решении задачи линейного программирования симплекс-методом.
В частном случае общей задачи ЛП система уравнений имеет предпочитаемый вид, при этом правые части всех уравнений неотрицательны.
Допустим необходимо минимизировать целевую функцию L=c1x1+c2x2+...cnxn (1), при условиях:
x1 + g1,m+1xm+1 + ... + g1nxn = h1,
x2 + g2,m+1 xm+1 + ... + g2nxn = h2, (2)
... ... ... ...
xm + gm,m+1 xm+1 + ... + gmnxn = hm
и xj≥0, j = 1,2,...n (3).
Для решения такой задачи применяется симплексный метод линейного программирования.
Из выражения L=L0-∆m+1xm+1-...-∆nxn (1) следует, что базисное решение x1=h1, x2=h2,...xm=hm, xm+1=0,...xn=0 (2) является оптимальным решением задачи ЛП
Базисное решение является единственным оптимальным решением задачи ЛП тогда и только тогда, когда в уравнении среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного, т. е. условие оптимальности имеет вид ∆j≤0 , j=1,2,…,n.
Если же хотя бы один из коэффициентов при свободных неизвестных равен нулю, то будут и небазисные оптимальные решения. Очевидно, оптимальных решений будет еще больше, если среди коэффициентов при свободных неизвестных в уравнении (1) окажется несколько нулевых.
Если есть хотя бы одна свободная неизвестная, такая что коэффициент ∆j при ней в последнем уравнении системы
положителен, а в первых m уравнениях той же системы среди коэффициентов g1j, g2j, …gmj при ней нет ни одного положительного, то задача линейного программирования неразрешима в силу неограниченности линейной формы L=c1x1+c2x2+...cnxn на множестве неотрицательных решений системы ограничений