39.Матричная запись пары двойственных задач лп (симметричная пара задач с ограничениями-неравенствами и несимметричная пара, где в одной из задач ограничения имеют вид равенств).

Прямая Двойствен

AX≤ B A*Y≥C

х≥0 Y≥0

F=CX=>max G=B*Y=>min

40.Сформулировать и доказать основное неравенство теории двойственности линейного программирования.

Основное неравенство теории двойственности: для любых допустимых решений х и у прямой и двойственной задач ЛП справедливо неравенство: .Общая стоимость всего произведенного продукта не превышает суммарной ценности ресурсов. Малая теорема двойственности: для существования оптимального решения любой из задач двойственной пары необходимо и достаточно существование допустимого решения для каждой из них. Зная произвольное допустимое решение двойственной задачи и применяя симплексный метод, можно решить исходную задачу. Достаточное условие оптимальности решений пары двойственных задач: если для некоторых допустимых решений x* и у* пары двойственных задач выполняется равенство , то векторы х* и у* являются оптимальными решениями соответствующих задач ЛП. Доказывается с помощью основного неравенства. План производства продукции и вектор оценок ресурсов являются оптимальными, если стоимость всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

41.Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии оптимальности решений пары двойственных задач линейного программирования.

Если для некоторых допустимых решений х₀ и у₀ пары двойственных задач выполнено равенство: То данные решения являются оптимальными.

Экон.смысл: план производства продукции и вектор оценок ресурсов является оптимальным, если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

42.Сформулировать первую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание первой основной теоремы двойственности?

если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения линейных форм равны, если же линейная форма одной из задач не ограничена, то система условий другой задачи противоречива. Эта теорема справедлива, как для симметричной, так и для несимметричной пары двойственных задач. Симплексный метод, примененный к решению одной из задач, автоматически приводит к решению другой задачи. Экономическое содержание: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов. Между неизвестными х исходной задачи и у двойственной задачи устанавливается соответствие х1-у(m+1), x2-y(m+2)…xn-y(m+n, x(n+1)-y1…x(n+m)-ym

43.Сформулировать и доказать вторую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание второй основной теоремы двойственности?

для того, чтобы допустимые решения х* и у* пары двойственных задач являлись оптимальными решениями этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий: , j=1,n и , i=1,m. Если xj*>0, то , данная технология использоваться не будет (если по некоторому плану технология применяется, то оценка ресурсов, расходуемых по этой технологии, равна цее продукта, произведенного по той же технологии).. Если xj=0, то , данная технология используется (если оценка ресурсов, расходуемых по технологии, строго больше цены продукты, производимого по той же технологии, то эта технология не применяется). Если yi*>0, то , ресурс в дефиците (если оценка ресурса строго больше 0, то расход этого ресурса равен его запасу). Если , yi*=0, ресурс в избытке (если по оптимальному плану х* производства расход ресурса строго меньше его запаса, то оценка единицы ресурса равна 0).