7)Дайте определения: разрешающая неизвестная, разрешающее уравнение, базисная и свободная переменная, базисное и общее решение

Разрешающ неизвестная – та, коэффициент при которой не равен 0. Разрешающее уравнение – в котором содержится разрешающая переменная. Базисная переменная – та, которая входит только в 1 уравнение системы. Свободная переменная – та, которая не является базисной, входит в несколько уравнений системы. Общее решение – выражение базисных неизвестных через свободные. Базисное решение – когда свободные переменные имеют нулевое значение. (х₁=h₁ x₂=h₂ x_m+1=0 и т.д. х_n=0 ). Небазисные решения – когда свободные неизвестным придаются какие-либо значения.

9) Дайте определение ранга матрицы размером m*n. Определите ранг матрицы (матрица задана).

Рангом системы n-мерных в-ров называется максимальное число линейно независимых в-ров этой системы. ранг системы единичных в-ров равен n.

Ранг системы в-ров не изменяется, если она подвергается элементарным преобразованиям:

Умножение какого-нибудь в-ра системы на число, отличное от 0;

Прибавление к какому-нибудь в-ру системы другого в-ра этой же системы, умноженного на число.

Перестановка каких-либо в-ров системы.

У матрицы размером mxn можно рассматривать строки как n-мерные в-ры, а столбцы как m-мерные в-ры.

Ранг системы строк – строчный ранг. Ранг системы столбцов – столбцовый ранг. Таким образом, в прямоугольной матрице они всегда равны.

Ранг матрицы – максимальное число линейно независимых рядов.

10) Дайте определения: Совместная и несовместная слау,

Определенная и неопределенная СЛАУ.

Решением СЛАУ называется такая система чисел к₁,к₂,…к_n, которые при подстановке обращает каждое из уравнений системы в верное тождество. В этом случае, когда система имеет решение, она называется совместной, в противном случае противоречивой или несовместной. Совместная система называется определенной или неопределенной в зависимости от того, имеет ли она одно или несколько решений.

11)Действия над матрицами: сумма, произведение, транспонирование. Свойства и формулы для расчета элементов.

Матрицей размера mxn наз таблица чисел, кот расположена в m-строках и n-столбцах

a₁₁ а₁₂ …а_1n

А= a₂₁ а₂₂ …а_2n или кратко А=(a_ij)

…………..

a_m1 а_m2 …а_mn

Если т= п, то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка. Кв. матрица наз треугольной, если все ее элементы, стоящие над или под главной диагональю, равны нулю. Кв. матрица называется диагональной, если все ее эл-ты, стоящие на главной диагонали, отличны от нуля, а остальные равны нулю. Диагональная матрица наз единичной, если а_ii=1, i=1,...,п.

Транспонированной матрицей наз матрица, строки кот.заменены столбцами.

Суммой двух матриц одного размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Так, если А - || а_ij || и В=|| b_ij||— матрицы размера т х п, то их суммой является матрица С = А + В, такая, что c_ij=a_ij+b_ij.

Произведением матрицы А размера т х п на число А, называется матрица D того же размера, у которой d_ij=a_ijλ..Для транспонированных матриц справедливы следующие соотношения: 1)(А')' = A;2)(АВ)' = В'А' ; 3) (А + В)' = А' + В'.

Произведением матрицы А размера т х п на матрицу В размера n х k называется матрица С размера m х k, эл-ты кот с_ij равны скалярному произведению i-й строки матрицы А на_j-й столбец мат­рицы В, т.е.

Произведение матриц обозначается С = АВ.

Для операции произведения матриц справедливы следующие свойства: 1)A(BС) = (АВ)С; 2)(А+В)С=АС+ВС; 3)A(B+С)=AB+AC; 4) λ(АВ) = (λА)В.

Каждой квадратной матрице А n-го порядка можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го порядка и обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы 2*2 детерминант определяется как