- •Какая система векторов a1,…..An называется линейно зависимой и линейно независимой? Система единичных векторов ортогонального n-мерного пространства линейно зависима или линейно независима?
- •2.В каком случае вектор b можно назвать линейной комбинацией векторов a1 … an ?
- •3.Ввести необходимые векторы и матрицы и записать в векторно-матричной форме следующую задачу (дана задача лп, записанная в обычном виде).
- •4.Дайте определение матрицы, обратной квадратной матрице а. Какое условие является необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы?
- •7)Дайте определения: разрешающая неизвестная, разрешающее уравнение, базисная и свободная переменная, базисное и общее решение
- •9) Дайте определение ранга матрицы размером m*n. Определите ранг матрицы (матрица задана).
- •10) Дайте определения: Совместная и несовместная слау,
- •11)Действия над матрицами: сумма, произведение, транспонирование. Свойства и формулы для расчета элементов.
- •12)Единичная матрица: определение, формулы для элементов
- •13) Обратная матрица: определение, условия существования обратной матрицы.
- •14) Постановка линейной производственной задачи, смысл переменных, векторов и матриц, допустимый и оптимальный план, математическая модель
- •15) Постановка общей задачи математического программирования. Основные понятия
- •16) Вектор-градиент, линия уровня, область допустимых решений в задаче лп. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •17) Многошаговые процессы решений в экономике. Суть метода динамического программирования. Параметр состояния и функция состояния системы, рекуррентные соотношения.
- •18) Матричные игры с нулевой суммой, смысл коэффициентов платежной матрицы, примеры матричных игр.
- •19) Графическое решение задачи целочисленного лп
- •25.В каком случае задача оптимального производственного планирования не имеет оптимального плана? Ответ обосновать.
- •26.В каком случае при решении задачи линейного программирования симплекс-методом значения линейной функции двух последовательных планов могут совпасть? Ответ обосновать
- •27.Сформулировать и доказать условие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений при решении задачи линейного программирования симплекс-методом.
- •28.Сформулировать теорему о связи решений исходной и вспомогательной задач при решении задачи линейного программирования методом искусственного базиса.
- •29.Доказать, что если при решении задачи линейного программирования:
- •30.Для задачи линейного программирования:
- •31.Правила выбора ключевого столбца и строки при решении задачи лп симплексным методом, последствия неправильного выбора
- •32.Введение балансовых переменных в систему ограничений задачи лп: цель и правило введения
- •33.Введение искусственных переменных в систему ограничений задачи лп при решении задачи лп методом искусственного базиса: цель и правило введения
- •34.В каком случае процесс решения задачи лп симплекс-методом является конечным?
- •35.В каких задачах применяется симплекс-метод?
- •36.Что представляет собой симплексная таблица?
- •37.Запишите симметричную пару двойственных задач линейного программирования.
- •38.Сформулируйте правила составления задачи, двойственной к данной задаче линейного программирования с ограничениями — неравенствами.
- •39.Матричная запись пары двойственных задач лп (симметричная пара задач с ограничениями-неравенствами и несимметричная пара, где в одной из задач ограничения имеют вид равенств).
- •40.Сформулировать и доказать основное неравенство теории двойственности линейного программирования.
- •41.Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии оптимальности решений пары двойственных задач линейного программирования.
- •42.Сформулировать первую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание первой основной теоремы двойственности?
- •43.Сформулировать и доказать вторую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание второй основной теоремы двойственности?
- •44.Сформулировать и доказать третью основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание третьей основной теоремы двойственности?
- •45.В чем состоит условие устойчивости двойственных оценок?
- •46.Сформулируйте задачу о расшивке узких мест производства и постройте ее математическую модель.
- •47.Постановка и математическая модель замкнутой транспортной задачи, число базисных неизвестных. Записать основные свойства этой модели.
- •50.Записать правила построения первого базисного решения замкнутой транспортной задачи по методу северо-западного угла.
- •51.Записать правила построения первого базисного решения замкнутой транспортной задачи по методу минимального элемента в матрице тарифов.
- •54.Записать определение цикла пересчета в транспортной таблице. Использование цикла пересчета для получения нового (улучшенного) базисного решения.
- •55.Записать алгоритм решения транспортной задачи (перечислить по порядку этапы решения). Обосновать конечность метода потенциалов решения транспортной задачи.
- •56.Объяснить смысл перевозок от фиктивного поставщика или к фиктивному потребителю в оптимальном решении транспортной задачи.
- •57.Что такое целочисленное линейное программирование? Допустимое множество задачи цлп.
- •58.Что такое параметрическое линейное программирование? Где может находиться параметр?
- •59.Что такое многокритериальная задача?
- •60.Что такое рекорд в методе ветвей и границ?
- •61.Приведите пример задачи целочисленного линейного программирования
- •62.Приведите пример задачи параметрического линейного программирования.
- •63.Приведите пример многокритериальной задачи
- •64.Сформулируйте условие окончания ветвления при решении задач методом виг.
- •65.Что такое решение, оптимальное по Парето в многокритериальной задаче.
- •66.Объясните, почему метод виг принадлежит к методам отсечения?
- •67.Почему нельзя решать задачу целочисленного лп, решив ее сначала как обычную задачу лп без учета целочисленности, а затем округлив полученное решение?
- •68.Что такое решение, оптимальное по Парето, в многокритериальной оптимизации?
- •69.Описать метод ветвей и границ
- •70.Метод динамического программирования, функция состояния, уравнение Беллмана
- •71. Составить математическую модель и записать функциональное уравнение Беллмана (рекуррентное соотношение), расшифровать все переменные и функции, входящие в него для следующей задачи.
- •76.В чем отличие «условий неопределенности» от «вероятностных условий». Что такое полная неопределенность и частичная неопределенность?
- •77.Что такое платежная матрица и матрица рисков, экономический смысл платежной матрицы
- •78.Как по платежной матрице составить матрицу рисков?
- •83.Как находится риск финансовой операции как среднее квадратическое?
- •84.Что такое доминирование финансовых операций?
- •86.Каков экономический смысл среднего ожидаемого дохода финансовой операции? Формула для его расчета
- •87. Верхняя и нижняя цена игры в матричной игре в чистых стратегиях, их нахождение.
- •88. Оптимальные стратегии в матричной игре в чистых стратегиях, условие их существования, седловая точка матрицы.
28.Сформулировать теорему о связи решений исходной и вспомогательной задач при решении задачи линейного программирования методом искусственного базиса.
Метод искусственного базиса применяется к решению задач линейного программирования в общем случае, когда система ограничений не имеет предпочитаемого вида.
Пусть требуется минимизировать
(1) при ограничениях:
(2)
. (3)
К данной задаче ЛП непосредственно нельзя применить симплексный метод, т.к. система (2) не имеет предпочитаемого вида, хотя правые части всех ее уравнений можно считать неотрицательными. Поэтому к левой части каждого уравнения системы (2) добавим по одной искусственной неотрицательной неизвестной и образуем следующую систему m линейных уравнений с n+m неизвестными:
(4)
где (5)
Очевидно, в системе (4) неизвестные образуют базисный набор, который принято называть искусственным. Кроме того, образуем искусственную линейную форму: (6) и сформулируем следующую вспомогательную задачу линейного программирования: минимизировать линейную форму (6) при линейных ограничениях (4) и (5).
Для решения вспомогательной задачи можно применить симплексный метод, так как система (4) имеет предпочитаемый вид, искусственные неизвестные являются базисными, а правые части всех уравнений неотрицательны. В процессе решения вспомогательной задачи система уравнений (4) будет подвергаться симплексным преобразованиям, в результате которых искусственные базисные неизвестные будут переходить в число свободных, а в базисный набор будут постепенно включаться исходные неизвестные. На некотором этапе процесса решения вспомогательной задачи система уравнений (4) примет такой предпочитаемый вид, что соответствующее базисное решение будет оптимальным решением этой задачи. При этом минимальное значение целевой функции может быть или положительным, или равным нулю, так как функция представляет сумму неотрицательных переменных.
Если Smin<0, то исходная задача не имеет решения ввиду противоречивости условий (2) и (3). Действительно, если допустить, что система уравнений (2) имеет неотрицательное решение (α1,α2,...,αn), то вспомогательная задача будет иметь решение (α1,α2,...,αn,0,0,…,0) для которого S=0, что противоречит предположению.
Если же S=0, то возможна дальнейшая минимизация.
29.Доказать, что если при решении задачи линейного программирования:
симплексным методом в качестве начального базиса выбирают базис из дополнительных переменных, для которых , то оценки для всех небазисных (свободных) переменных будут равны , а соответствующее значение целевой функции .
Это следует из правила выч.дв.оценок. Точнее, это следует из их определения: это коэф-ты ц.ф. выражаются через свободные неизвестные, которыми и являются в данном случае все основные переменные задачи
30.Для задачи линейного программирования:
получить выражение целевой функции z через свободные переменные общего решения системы ограничений
C3 П3 Н0 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7
3 Х2 1
0 Х6 1
5 Х3 1
-z+1400 Двойственные оценки
Коэффициент выражения ц.ф-и через свободные переменные – это двойственные оценки (с точностью до знака)
Правило: столбец С3 * столбец матрицы, а затем вычетается верхнее значение наверху.
Док-во: правила вычисления двойственных оценок. Без ограничений общности, базисными стали Х1, Х2, Х3.
C3 П3 Н0 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7
Х1 1 S
Х2 1
Х3 1
Двойственные оценки
F = CX= C1X1+ C2X2= C1*X1 + C2*X2= C1(H-SX2) + C2( H2) = C1H + (-C1S + C2)X2= Z0+(-C1S + C2)X2=Z0-(C1S- C2)X2=Z
Z= Z0-(C1S- C2)X2
40=X1+ 7X4+2X1
H=X1+SX2→X1=H-SX2