1. Какая система векторов a1,…..An называется линейно зависимой и линейно независимой? Система единичных векторов ортогонального n-мерного пространства линейно зависима или линейно независима?

Система векторов a1, a2,…am называется линейно зависимой, если хотя бы один из ее векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Система называется линейно независимой, если ни один из ее векторов не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов. Система единичных векторов ортогонального n-мерного векторного пространства линейно зависима. Сов-ть n чисел а₁,а₂,…,а_n, заданных в определенном порядке,наз n-мерным вектором. Числа a_i наз компонентами или координат вектора, число n-его размерностью. Обознач: а(а₁,а₂,…,а_n) А(а₁,а₂,…,а_n).

2.В каком случае вектор b можно назвать линейной комбинацией векторов a1 … an ?

Вектором называется упорядоченный набор чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в наборе называются компонентами вектора. Число компонент вектора называется его размерностью.

В-р является линейной комбинацией в-ров , если эти вектора линейно зависимы. Если его можно представить как сумму произведений данных в-ров на какие-либо числа - коэффициенты линейной комбинации.

3.Ввести необходимые векторы и матрицы и записать в векторно-матричной форме следующую задачу (дана задача лп, записанная в обычном виде).

Система из k ур-ний первой степени с n неизвестными им.след.вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b_{1 ,} где b – cвоб.члены;

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Составим матрицу А из коэф-тов при неизвестных системы лин.алгебр.ур-ний. Она наз. матрицей системы, а матрицу A , получающуюся добавлением к А столбца своб.членов системы, наз.расширенной матрицей:

а₁₁ а₁₂ a_1n а₁₁ а₁₂ a_1n b₁

А= а₂₁ а₂₂ а_2n A = а₂₁ а₂₂ а_2n b₂

_{…………………………… ……………………………}

а_k1 а_k2 а_kn а_k1 а_k2 а_kn b_k

Введем в рассмотрение векторы-столбцы(матрицы-столбцы): a_j-коэф-ты при неизвестной x_j (j=1…n), b –своб.члены, x-неизвестные:

а_1j b₁ x₁

а_j= а_2j b= b₂ x= x₂

_{………………………………………………….}

а_kj b_k x_k

Очевидно, левые части ур-ний исх.сист. совпадают с эл-тами матрицы-произв-я Ах, а j-е слагаемые во всех ур.системы предст. собой эл-ты вектора-столбца a_jx_j, получаемого умножением вектора a_j на число x_j. Поэт.исх.СЛАУ м.зап. в векторной и матричной формах:

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b или Ax=b. прим(А-затраты,В-обьем,С-прибыль)

4.Дайте определение матрицы, обратной квадратной матрице а. Какое условие является необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы?

Жордана – Гаусса. с помощью преобразований за конечное число шагов приводят систему в равносильную систему, которая легко исследуется и решается. Решение - такая система m чисел при подстановки которой в каждое из уравнений системы, обращает любое уравнение в верное тождество.

не имеет решений, если все коэфф при неизвест = 0, а правая сторона уравнения не равна 0. ( , где ).

имеет уравнение, являющееся линейной комбинацией каких-либо других уравнений системы: если левая и правая чиста уравнения обращаются в 0 (т.е. 0=0). тогда уравнение удаляют и продолжают решение системы.

5.СЛАУ решается методом Жордана- Гаусса. Каким образом в процессе решения убедиться в том, что СЛАУ:1)не имеет решения?2)имеет уравнение, являющееся линейной комбинацией каких-либо других уравнений системы?

Жордана – Гаусса. с помощью преобразований за конечное число шагов приводят систему в равносильную систему, которая легко исследуется и решается. Решение - такая система m чисел при подстановки которой в каждое из уравнений системы, обращает любое уравнение в верное тождество.

не имеет решений, если все коэфф при неизвест = 0, а правая сторона уравнения не равна 0. ( , где ).

имеет уравнение, являющееся линейной комбинацией каких-либо других уравнений системы: если левая и правая части уравнения обращаются в 0 (т.е. 0=0). тогда уравнение удаляют и продолжают решение системы.

6)По каким правилам при нахождении неотрицательных решений СЛАУ выбирается разрешающая неизвестная и разрешающее уравнение? Решение ( ) системы называют неотрицательным, если все его компоненты α_j неотрицательны. Если правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения также будут неотрицательными.

При нахождении неотрицательных решений СЛАУ выбирается разрешающая неизвестная, при кот хотя бы в одном уравнении имеется положительный коэффициент. А для нахождения разрешающего уравнения находят тип отношений столбца свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца, в этом случае k-ое уравнение будет разрешающим. min(b_i/a_ij>o)=b_k/a_ij. И минимальное отношение покажет разрешающее уравнение. Если хотя бы в одном из ур-й системы свободный член положителен,а все коэф-ты при неизв-х<0,то система неотрицательных реш-й не имеет. Преобразования системы в соотв с этими правилами наз симплекс преоб-ниями системы. Если указанный min достигается для неск-х ур-й системы, то такая система наз вырожденной. Необх-м условием вырожденной системы явл то, что свободный член хотя бы одного ур-я системы=0.