Решение игры в смешанных стратегиях графоаналитическим методом

Так как игра у каждого из игроков имеет всего лишь по две стратегии, то такаы игра имеет достаточно понятную и наглядную геометрическую интерпретацию.

Пусть игра задана платежной матрицей вида

Р=

а11	а12
а21	а22

Решение игры графо-аналитическим методом осуществляется в следующей последовательности.

диаграмма

Отложим на оси абсцисс отрезки, правая точка будет равна 1, тогда влевой и правой точках единичного отрезка проведем 2е вертикальных линии и обозначим их I, II. Отложим в одинаковом масштабе значения элементов платежной матрицы для стратегии В1. Получим прямую соответствующую стратегии В1. Тогда точка А будет соответствовать стратегии А1 игрока А, а точка В будет соответствовать стратегии А2 игрока А, а любая другая точка нах-я на этой прямой будет соответствовать любой из смешанных стратегий игрока А. Причем расстояние от ординаты точки Sа – точка О, до правого окончания единичного вектора будет представлять Р*₁, а расстояние единичного вектора от точки О до начала единичного вектора будет представлять собой вероятность Р*₂.

Аналогично на этой диаграмме можно изобразить стратегию игрока В2,если отложить от первой вертикальной оси значение платежной матрицы а12, а на второй значение платежной матрицы а22 при этом получим вторую прямую, которая позволит получить оптимальные стратегии. Таким образом для игрока А ломаная АСD является ломаной линией, отражающей минимальный выигрыш игрока А при любой используемой смешанной стратегии.

Так как игрок А стремится получить больший выигрыш, то точка соответствующая оптимальной с точки зрения игрока А стратегии будет точка С. А вектор С будет ценой игры

Методы решения задач mxn.

В тех случаях, когда игроки А или В имеют больше, чем 2е стратегии. Прежде чем решать задачу необходимо ее упростить покажем один из премов упрощения на конкретном примере.

Магазин может завести в различных пропроциях товары различных типов А1,А2,А3,А4. Их реализация и прибыль зависят от вида товара и состояния спроса, предполагается, что спрос может иметь 5 состояний В1,В2,В3,В4,В5 и не прогнозируются. Требуется определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия максимума средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибыли.

спрос

тип товара	B1	B2	B3	B4	B5
A1	200	400	600	400	700
A2	300	400	600	500	800
A3	400	500	600	500	800
A4	700	300	500	200	100

Будем рассматривать возникшую ситуацию как игровую, при этом с точки зрения игрока элементы таблицы – прибыль, которую получит игрок А если он применит одну из стратегий Аi в ответ на которую В примет одну из стратегий Вi.

Эту задачу можно решить аналитическим методом с помощью маткада.

Однако если внимательно посмотреть на строки таблицы.

Первая хуже второй – вычеркиваем

А2 хуже 3ей – вычеркиваем

Если задачу простить нельзя, то эта задача может быть поставлена как задача линейного программирования и решена методом симплекс таблиц.