Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса

Рассмотрим матричную игру с платежной матрицей, где i строка соответствует ai стратегии игрока а, а j столбец соответствует bj стратегии игрока b. Предположим, что игрок А выбирает некую стратегию аi, тогда в наихудшем для него случае ( случае, когда игроку B стал зараннее известен ход игрока А), в этом случае игрок А получит выигрыш равный минимальному элементу в этой строке. Предвидя такую возможность игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный в каждой стратегии выигрыш, такой выигрыш в теории игр обозначают альфа. Соответственно альфа =maxminальфаij.

В этом случае величина альфа называется нижней ценой игры. Альфа – гарантированный выигрыш игрока А. Такая стратегия нызвается maxmin. Если игрок А будет ее придерживаться, то ему при любом поведении игрока B всегда будет обеспечен выигрыш не ниже, чем альфа.

С другой стороны игрок В, имея антагонистическое отношение к игроку должен пересмотреть все свои возможные стратегии с точки зрения получения игроком А максимально возможного выигрыша.Таким образом при выборе некоторой стратегии Bj он должен исходить из максимально возможного проигрыша в данной стратегии равного max aij и выбрать такую стратегию, при которой его проигрыш будет минимальным. Такой проигрыш обозначают буквой бетта=minmaxaij. А само значение бетта называют верхней ценой игры. А стратегию соответствующую значению бетта называют минимаксной стратегией. Этой стратегии соответствует принцип осторожности, который диктует обоим игрокам выбор стратегий maxmin или minmax. Такой принцип в теории игр назвали принципом minmax, а стратегии minmax.

Задача

Пусть игра задана платежной матрицей

H=

	В1	В2	В3	В4	min	max
А1	3	2	1	7	1
А2	10	7	3	10	3	3
А3	-2	7	1	2	-2
Bmax	10	7	3	10
Вmin			3

Элементы платежной матрицы означают, что если игрок А примет стратегию А2 в ответ на которую игрок В примет стратегию В4, то А получит выигрыш 10, а В проигрыш 10.

Вычислить нижнюю и верхнюю цену игры.

Решение:

На первом шаге выберем каждой стратегии А минимальный элемент (min)

Выберем из минимальных элементов максимальный (max)

Выберем каждой стратегии игрока В максимальный элемент (Вmax)

Из полученных максимальных значением выберем минимум (Вmin)

Верхняя цена игры max=3

Нижняя цена игры Bmin=3

Пример 2

Допустим задана платежная матрица

	В1	В2	В3	min	max
А1	2	0	-1	-1
А2	3	4	2	2	2
А3	-2	1	0	-2
А4	5	1	5	1
Bmax	5	4	5
Вmin		4

Решить игру – найти верхнюю и нижнюю границу игры.

Альфа=2

Бетта=4