2. Гидростатика

2.1.Силы, действующие на жидкость. Давление в жидкости

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практические приложения.

Из механики твердого тела известно, что в том случае, если на тело не действуют внешние силы или их сумма равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения. Данное утверждение справедливо и для жидкости. В этом случае отсутствует взаимное перемещение частиц жидкости и такое состояние массы жидкости называется равновесным.

Все внешние силы, действующие на жидкость, можно разделить на массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы – это силы, величина которых пропорциональна массе (силы тяжести, силы инерции).

Поверхностные силы – это силы, действующие на поверхность S ограничивающую объем V, со стороны окружающей жидкости. К ним относятся: силы давления и силы трения. Эти силы непрерывно распределены по поверхности жидкости и пропорциональны площади этой поверхности.

В общем случае поверхностная сила R, действующая на площадке S, направлена под некоторым углом к ней, и ее можно разложить на нормальную F и тангенциальную T составляющие (Рис.2.1).

Рис.2.1. Разложение поверхностной силы на две составляющие.

Первая называется силой давления, а вторая – силой трения.

Массовые силы отнесенные к единице массы, а поверхностные к единице площади называют единичными силами.

Так как массовая сила равна произведению массы на ускорение, следовательно, единичная массовая сила равна соответствующему ускорению.

Единичная поверхностная сила, называемая напряжением поверхностной силы, раскладывается на нормальные и касательные напряжения.

Нормальное напряжение называется давлением гидромеханическим, а в случае покоя – гидростатическим и обозначается буквой р.

Если сила давления F равномерно распределена по площадке S, то среднее давление определяется по формуле

р= . (2.1)

Давление в данной точке равно

р= . (2.2)

Если давление р отсчитывается от абсолютного нуля, то его называют абсолютным, а если отсчитывается от атмосферного давления р_а, то его называют избыточным или манометрическим(р_м).

Следовательно

р_абс=р_а+р_м.

Таким образом, манометрическое давление – это превышение давления в данной точке над атмосферным

р_м=р_абс-р_а.

2.2.Гидростатическое давление и его свойство

Поскольку жидкости практически не способны сопротивляться растяжению, а в неподвижных жидкостях не действуют касательные силы, поэтому на неподвижную жидкость из поверхностных сил могут действовать только силы давления; причем на внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости и, следовательно, являются сжимающими. (Можно пояснить на Рис.2.1. Т=0, т.к. жидкость неподвижная, а F уравновешивается силой реакции F¹ , т.к. жидкость не сжимаемая, используя 3^й закон Ньютона)

Таким образом, в неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения – напряжение сжатия, т.е. гидростатическое давление.

Рассмотрим основное свойство гидростатического давления: в любой точке жидкости гидростатическое давление не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует, т.е. от углов ее наклона по отношению к координатным осям(р_x=р_y=р_z=р_n), где р_x, р_y, р_z, р_n – гидростатическое давление по направлению координатных осей и в произвольном направлении.

Для доказательства этого свойства выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными d_x, d_y, d_z (рис.2.2)

Пусть внутри выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, составляющие которой равны X, Y, Z. Обозначим через р_x - гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси OX, через р_y - давление на грань, нормальную к оси OY и т.д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через р_n, а площадь этой грани через dS.

Рис.2.2. Схема для доказательства свойства гидростатического давления.

Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости сначала в направлении оси OX, учитывая при этом, что все силы направлены по нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидкости.

Проекция сил давления на ось OX

.

Масса жидкости в тетраэдре равна произведению плотности на ее объем,т.е. Следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси OX, будет

.

Уравнение равновесия тетраэдра запишем в виде:

.

Разделив это уравнение на площадь которая равна площади проекции наклонной грани ds на плоскость YOZ, т.е. получим

р_х-р_n+ .

При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель dx, также стремится к нулю. Следовательно, в пределе получим р_x-р_n=0 или р_х=р_n.

Аналогично составляя уравнение равновесия вдоль осей OY и OZ, находим

р_y=р_n, р_z=р_n или р_x=р_y=р_z=р_n . (2.3)

Так как размеры тетраэдра dx, dy, dz взяты произвольно, то и наклон площадки ds произволен и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково.

Что и требовалось доказать.

Необходимо отметить, что гидростатическое давление в точке одинаково по всем направлениям, но является функцией координат р=р(x,y,z).