4.4. Уравнение движения вязкой жидкости (Уравнение Навье – Стокса)

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости могут быть составлены путем дополнения уравнений Эйлера слагаемыми, определяющими силы сопротивления движению, обусловленные вязкостью жидкости, тогда уравнения Эйлера запишутся в виде

, (4.25)

где Fx, Fy, Fz – проекции сил вязкости на координатные оси, отнесенные к единице массы жидкости, т.е. записанные в виде ускорений.

Под действием сил вязкости (сил сопротивления смещению одних частиц жидкости относительно других, смежных с ними) возникают как тангенциальные (касательные), так и нормальные (перпендикулярные) напряжения (напряжения сжатия или растяжения). Определим Fx, Fy, Fz, предполагая, что жидкость движется слоями без перемешивания движущейся массы. В общем случае направление движения не совпадает с направлением координатных осей, вследствие чего не совпадает с направлением этих осей и сила вязкости.

Выделим элемент жидкости в форме параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям (рис. 4.4), и определим сумму проекций сил вязкости, действующих только на те три грани параллелепипеда, которые образуют трехгранный угол с вершиной А. Для каждой координатной оси существуют проекции только трех сил (из девяти) отличных от нуля.

Рис. 4.4

Для удобства дальнейших рассуждений введем двойную индексацию напряжений: первый индекс указывает на то, что площадка, для которой определяется напряжение, расположена нормально к данной оси координат, а вторая – направление действия напряжения. Проекции сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной А.

(4.26)

Переходя к проекциям сил, действующим на грани трехгранного угла с вершиной С’, заметим, что напряжения на этих гранях будут отличаться на величину соответствующих частных дифференциалов этих напряжений

(4.27)

где для оси ОХ

(4.28)

Аналогичные выражения можно получить и для двух других осей. Выражение для силы , представляющей сумму проекций на ось ОХ всех сил вязкости, действующих на массу жидкости в объеме выделенного параллелепипеда, с учетом того, что направление сил, действующих на грани угла с вершиной С, противоположного направлению сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной А, запишется

(4.29)

С учетом того, что

(4.30)

имеем

. (4.31)

Принимая во внимание, что получим

(4.32)

Касательные напряжения в пределах грани dxdz остаются одинаковыми для всех точек этой площадки, т.е. не зависят от координат Х и Z и изменяются только при перемещении этой площадки вдоль оси OY, т.е. зависят от координаты У. Таким образом, касательные напряжения зависят только от градиента скорости . В соответствии с законом Ньютона имеем

(4.33)

откуда

(4.34)

Рассмотрим производную . Величина представляет собой нормальное к площади dydz напряжение, обусловленное влиянием вязкости (сжатия – в условиях торможения и растяжения – в условиях ускоренного движения) в зависимости от изменения скорости вдоль оси ОХ, т.е. в зависимости от градиента скорости . Поэтому можно допустить, что напряжение может также определяться по закону Ньютона