Интегрирование уравнений Эйлера для установившегося движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнения (4.10) на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные dx=Uxdt; dy=Uydt; dz=Uzdt, и сложим уравнения.

Получим

. (4.12)

Учитывая, что выражение в скобках (4.12) является полным дифференциалом давления, а также, что

Уравнение (4.12) можно переписать в следующем виде

(4.13)

или

где U- силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила – сила тяжести

X=0; Y=0; Z=-g.

Подставляя эти значения в уравнение (4.13), получим

или

Так как для несжимаемой жидкости , предыдущее уравнение можно переписать в виде

.

Это уравнение означает, что приращение суммы трехчленов, заключенных в скобки, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю. Следовательно, указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока, а, следовательно, и вдоль элементарной струйки, т.е.

.

Таким образом, получили уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, найденное ранее другим способом.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1 – 1 и 2 – 2, то оно примет вид выражения (4.5)

.

4.3. Уравнение Бернулли для потока жидкости с поперечным сечением конечных размеров.

При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку реальной (вязкой) жидкости, имеющему конечные размеры, необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению, а также потери энергии (напора). То и другое является следствием вязкости жидкости. Из–за неравномерного распределения скоростей по поперечному сечению приходится вводить в рассмотрение среднюю по сечению скорость .

Для плавно изменяющегося течения уравнение Бернулли, составленное для элементарной струйки, можно распространить на поток с поперечным сечением конечных размеров (в таком потоке скорости в различных точках поперечного сечения различны). Течение называют плавноизменяющимся, если угол расхождения между соседними элементарными струйками настолько мал, что составляющими скорости в поперечном сечении можно пренебречь.

Считаем, что распределение давления по поперечному сечению следует закону гидростатики, т.е. величина одинакова для всех точек сечения.

Поток может быть рассмотрен как совокупность элементарных струек. Энергия каждой отдельной струйки равна

[ ] , (4.14)

ds- площадь элементарной струйки

Энергия для всего потока будет

. (4.15)

Первое слагаемое выражает потенциальную энергию потока

(4.16)

Второе слагаемое выражает кинетическую энергию. Учитывая, что dQ=Uds, имеем

(4.17)

Местную скорость U можно представить в виде

где - средняя скорость жидкости;

- разность ( >, <, =0).

Выполняя подстановку, получаем

(4.18)

или

. (4.19)

Здесь учтено, что (на половине площади >0, а на другой половине <0), и что интеграл т.к. малая величина для разных точек сечения имеет различный знак.

Вводя обозначение

(4.20)

получим следующее выражение для кинетической энергии потока

(4.21)

В результате для энергии всего потока имеем

Е_потока (4.22)

откуда удельная энергия потока будет

Е_потока . (4.23)

Таким образом, уравнение Бернулли для потока конечного размера отличается от такового для элементарной струйки тем, что здесь скоростной напор, определяемый средней скоростью, дополнен коэффициентом ,, носящим название коэффициента Кориолиса.

представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока и в том же сечении, но при равномерном распределении скоростей.

Величина этого коэффициента зависит от степени неравномерности распределения скорости по сечению. Этот коэффициент всегда > единицы (за исключением случая, когда местные скорости в данном сечении равны между собой, тогда =1) и при обычном распределении скоростей равняется 1,1; во многих практических случаях можно принимать =1.

Для потока вязкой жидкости уравнение Бернулли запишется в виде

. (4.24)