Будущая стоимость простого (обыкновенного) аннуитета

Будущая стоимость простого (обыкновенного) аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на момент окончания срока проведения финансовой операции.

Пример 1.10. Финансовая компания создает фонд для погашения своих обязательств через 4 года путем ежегодных помещений в банк сумм в 10000 руб. под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года?

FV₄ = 10000 • (1+0,1)³+10000 • (1+0,1)²+10000 • (1+0,1)¹+10000 = 46410 руб.

Для Т-периодов: FV_T = CF • (1+r)^t-1 + CF • (1+r)^t-2 + CF • (1+r)^t-3 +…+ CF= CF ((1+r)^t-1 + (1+r)^t-2 +

T

+(1+r)^t-3 +……+1) = Σ CF• (1+r)^t-1

^t=1

Один из множителей в формуле представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем прогрессии (1+r) и первым членом, равным 1. Применив формулу суммы членов геометрической прогрессии, можно получить более компактную запись: FV_T = CF • ((1 + r)^T – 1) / r

В наиболее распространенном случае, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т.е. начисленные проценты выплачиваются сразу при начислении, общее число платежей за T-лет будет равно m•T, процентная ставка – r/m, а величина разового платежа – CF/m и итоговая формула будет иметь вид:

FV_Tj = CF/m•((1+r/m)^Tm – 1) / r/m = CF•((1+r/m)^Tm – 1) / r

Процентная ставка r/m, равная отношению номинальной годовой ставки k к количеству периодов начисления m, называется периодической.

Подчеркнем еще раз, что периодическая ставка процентов r/m может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов.

Пример 1.11. Каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1000 руб., банковская ставка равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу 4-го года?

Общее количество платежей за 4 года равно: 4•12 = 48. Ежемесячная процентная ставка составит: 12 / 12 = 1%.

Тогда: FV_4,12 = 1000•((1+0,01)⁴⁸ – 1) / 0,01 = 61222,61 руб.

Современная (текущая) стоимость простого аннуитета

Под современной стоимостью денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Пример 1.12. Предположим, что мы должны выплачивать каждый год 1000 руб. на протяжении 4-х лет. Какой суммой в современных условиях мы должны обладать, чтобы выполнить эту задачу, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых?

PV = 1000/l,1 + 1000/(l,1)² + 1000/(l,1)³ + 1000/(l,1)⁴ = 3169,87 руб.

Общее соотношение для определения современной (текущей) величины аннуитета имеет следующий вид:

PV_T = CF • ((1+r)^T – 1) / r• (1+r)^T = CF• (1-(1+r)^-T) / r

Выражение (1-(1+r)^-T) / r представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета в 1 денежную единицу. Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида на этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного ему аннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовом анализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета.

Для случая, когда выплаты сумм аннуитета производятся несколько раз в год и совпадают с начислением процентов во времени, удобно использовать соотношение вида: PV_T,m = CF • (1 - (1+r/m)^-mT) / r/m

Пример 1.13. Чему равна современная стоимость квартальных выплат по 1000 руб. в течение 5 лет, если альтернативная доходность равна 15% годовых?

Современная стоимость квартальных выплат по 1 руб. в течение 5 лет при

r = 0,15 (15% годовых) равна:

PV_5,4 = (1-(1+0,15/4)^-20)/0,15/4 = 13,8962 руб.

Для выплат в 1000 руб. современная стоимость аннуитета:

PV_5,4 = 1000•(1-(1+0,15/4)^-20)/0,15/4 = 13,8962 • 100 = 13896,2 руб.

Если известна будущая стоимость аннуитета FV, то при заданных T и r

CF = FV_T • r / ((1+r)^T - 1)

Выражение r / ((1+r)^T - 1) называют коэффициентом погашения или накопления, т.е. какую сумму надо вкладывать каждый год под r процентов годовых, чтобы через Т лет иметь в наличии сумму FV_T.

Исчисление продолжительности операции простого аннуитета

Соответственно, если неизвестной величиной является срок аннуитета Т, он определяется по формуле: T = lg ((FV_T/CF) • r + 1) / lg(1+r)

В случае, если известна текущая стоимость аннуитета PV, формулы для определения CF и Т примут следующий вид:

CF = PV • r • (1+r)^T/(1-(1+r)^T) и Т = ln (1-(PV_t/CF) • r)^-1 / ln(1+r).

Выражение (1-(PV_t/CF) • r)^-1 называют коэффициентом восстановления или возмещения капитала.