Современная (настоящая) стоимость элементарного потока платежей

Современную величину элементарного потока платежей можно определить путем деления FV на величину (1+r)^T, что означает определение современной стоимости, которая обеспечивала бы получение известной FV при вложении в какую-либо финансовую операцию с доходностью r, отдаленную от настоящего времени количеством T лет. PV в данном случае дает объективную современную оценку будущих сумм и служит мерой оценки современной стоимости конкретной финансовой операции по инвестированию средств в данную ценную бумагу. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:

PV = FV_T / (1+r)^T.

В случае, если начисление процентов осуществляется m раз в году, соотношение будет иметь следующий вид: PV_Tm = FV_T / (1 + r/m)^mT

Пример 1.6. Выплаченная по 2-х летнему депозиту сумма составила величину в 12184 руб. Определить современную стоимость данной суммы, если ставка по альтернативному вложению равна 10% годовых.

PV = 12184,03 / (1 + 0,1)² = 10069,42 руб.

Пример 1.7. Какую сумму необходимо положить на депозитный вклад под 15% годовых на три года, чтобы через 3 года выплатить кредитору сумму 50000 руб.?

PV = 50000 / (1 + 0,15)² = 37565,74 руб.

Пример 1.8. Сейчас мне 18 лет. На 21 год родители обещают мне подарить депозит с суммой 300 000 руб. Какую сумму нужно сейчас положить родителям в банк на депозит, чтобы выполнить своё обещание, если сложная процентная ставка по депозиту в банке 10% годовых и проценты начисляются 2 раза в год?

PV_Tm = FV_T / (1 + r/m)^mT = 300 000/ (1 + 0,1/2) ^2•3 = 224 000 руб.

Величина PV имеет обратную зависимость от продолжительности операции и процентной ставки.

Исчисление процентной ставки для элементарного потока платежей

При известных величинах FV, PV и T, годовую процентную ставку доходности r финансовой операции с элементарным потоком платежей можно определить по формуле: r = (FV / PV)^1/T - 1, которая выводится из основной формулы наращения.:

Пример 1.9. Сумма в 10000 руб., помещенная в банк на 4 года, обеспечивает при погашении сумму 14641 руб. Определить процентную ставку доходности операции.

d = (14641 / 10000)^1/4 - 1 = 0,1 (10%).

Эффективная (эквивалентная) процентная ставка (ставка сравнения)

Часто возникает необходимость сравнения условий нескольких финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае для каждой из финансовой операции осуществляют приведение соответствующих процентных ставок и периодичности выплат к их годовому эквиваленту. Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate – EPR) или ставкой сравнения.

EPR = (1 + r/m)^m - 1 , где r – годовая ставка по данной финансовой операции; m – число периодов начисления процентов в течение одного года.

Эта ставка представляет собой годовую процентную ставку финансовой операции с выплатами только в конце каждого года, эквивалентную объявленным условиям выплат. Другими словами, годовые проценты r, выплачиваемые m раз в год, и проценты EPR, выплачиваемы 1 раз в год, равны между собой.

Пример 1.8. Располагая суммой 10000 руб., мы можем инвестировать её на два года при условии поквартального начисления процентов, под 10% годовых и получить по окончании срока инвестирования через 2 года 12184,03 руб., как было рассчитано в примере 1.6. Перед нами стоит задача, рассчитать под какую процентную ставку мы должны положить 10000 руб., чтобы получить через 2 года те же самые 12184,03 р., при условии альтернативного вложения с единовременным начислением процентов в течение года.

ЕPR = (1 + 0,1/4)⁴ - 1 = 0,103813

Таким образом, условия инвестирования средств сроком на 2 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов и под 10,3813%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными.

Исчисление продолжительности операции для элементарного потока платежей

Продолжительность операции определяется по формуле, которая выводится из основной формулы наращения:

T =log (FV / PV) / log (1+r)

Пример 1.9.

Поместив в банк сумму в 10000 руб. под 10% годовых, мы хотим получить сумму 14641 руб. На какой срок требуется разместить капитал в банке, чтобы получить желаемый финансовый результат?

T =log (14641 / 10000) / log (1+0,1) = 4 (года)

Денежные потоки в виде серии платежей через равные промежутки времени (аннуитеты)

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity). В зависимости от условий формирования могут быть разнообразные виды аннуитетов: с платежами постоянной и произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, в середине или конце периода и т.п.

В финансовой практике часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.п.): выплаты по облигациям с фиксированной ставкой купона, банковские кредиты, долгосрочная аренда, страховые полисы, формирование различных фондов и т.п.

Простой аннуитет обладает двумя свойствами:

1. все его Т - элементов равны между собой: CF₁ = CF₂ = ...= CF_t = CF_Т ;

2. отрезки времени между выплатой и получением сумм CF одинаковы, т.е.

t_T – t_T-1 = ...= t₂ - t₁.

В отличии от разовых платежей для количественного анализа аннуитетов необходимо знать все характеристики денежных потоков: FV, PV, CF, r и T.