11) Порівнянність та однорідність даних. Повнота даних та стійкість.

Порівнянність передбачає формування всіх рівнів ряду спостережень за однією і тією ж методикою, використання однакових одиниць вимірювання та за можливості кроку спостережень. У часових рядах вимога однакового кроку за часом є обов'язковою.

Однорідність досягається відсутністю сильних зламів, а також нетипових аномальних спостережень. При пошуку закономірностей буває доцільно відкинути частину попередніх даних, якщо вони відображають закономірність минулого розвитку, яка вже втратила силу. Наявність аномальних (різко виділяються) спостережень призводить до спотворення результатів. Формально аномальність проявляється як сильний стрибок з наступним приблизними відновленням попереднього рівня. Прикладом такого спостереження може служити значення курсу долара, зафіксованого в «чорний вівторок».

Вимога повноти даних обумовлюється тим, що закономірність може виявитися лише при наявності мінімально допустимого обсягу спостережень. Достатня кількість спостережень визначається залежно від мети дослідження. У часових рядах, наприклад, якщо мета дослідження – побудова моделі динаміки з метою подальшого прогнозу, число рівнів вихідного динамічного ряду має бути не менше семи.

Стійкість характеризує переважання закономірності над випадковістю в зміні рівнів ряду. Діаграма розсіювання дозволяє зробити візуальний аналіз емпіричних даних. Однак існують і більш точні, теоретично обґрунтовані методи виявлення закономірного зв'язку між випадковими змінними Y і X. Найбільш поширеним з них є метод Фостера-Стюарта (СР.01). Він дозволяє не тільки встановити наявність тенденцій у зв'язку кількісних ознак Y і X, а й перевірити гіпотезу про сталість дисперсії випадкового обурення.

12) Сутність методу найменших квадратів

Для оцінки параметрів регресійного рівняння найбільш часто використовують метод найменших квадратів.

Метод найменших квадратів дає оцінки, що мають найменшу дисперсію в класі всіх лінійних оцінок, якщо виконуються передумови нормальної лінійної регресійної моделі. МНК мінімізує суму квадратів відхилень спостерігаємих значень від модельних значень .

Не доцільно знаходити параметри економетричної моделі, мінімізуючи суму лінійних відхилень фактичних витрат на споживання від розрахункових, бо вона може дорівнювати нулю, якщо сума від’ємних і додатних відхилень буде однаковою. Тому мінімізації підлягає сума квадратів відхилень, і величина її залежатиме безпосередньо від розсіювання точок навколо лінії регресії. оцінки знаходяться шляхом мінімізації суми квадратів

по всіх можливих та при заданих значеннях та . Задача зводиться до математичної задачі пошуку точки мінімуму функції двох змінних. яка знаходиться шляхом прирівнювання до нуля частинних похідних функції по змінних та

Виконавши елементарні перетворення, дістанемо систему нормальних рівнянь

В результаті можемо отримати так звані оцінки найменших квадратів

Розв’язок системи нормальних рівнянь в матричній формі має вигляд

.

13Метод максимального правдоподобия (ММП)

Принцип максимального_правдоподобия утверждает, что следует выбрать ту из гипотез, которая обеспечивает_наибольшую вероятность появлениях,. Посколькух— непрерывная случайнаявеличина, вероятность появления какого-либо отдельного ее значения являетсябесконечно малой. Вместо этого мы сравниваем величину плотности вероятностив точке х{ для двух гипотез, представленную высотой фафика функцииплотности вероятности.

Следующий шаг — обобщение. Мы будем рассматривать все возможные значенияfi и выберем то из них, которое дает максимальное значение плотностивероятности в точке х,. Функция плотности вероятности переменной х с заданным ц имеет вид:

/ ( Х |Ю = Ж*"'(А~Ц)' (12.1)

Плотность вероятностивеличины хл* Значение плотности вероятности вточке х= хл в условиях Н0: ц = ц0А; Значение плотности вероятности в• точке х= ху в условиях //,: ц= ц.\Вероятность появления хл в условиях истинности Н0 и /У, поскольку в этом случае распределение будет расположено вокруг х,, и плотностьвероятности окажется максимальной в центре распределения.

В дальнейшеммы так и сделаем, а также дадим ей другое название — функция правдоподобия и,чтобы подчеркнуть происшедшие изменения, будем обозначать ее как L:

Дц|х1) = -~=^"2( Д : ,"Ц). (12.2) Отметим, во-вторых, что log L (\х) будет иметь максимум при том же значенииц, которое максимизирует L (д), поскольку логарифм от любой переменной возрастает или уменьшается с ростом или уменьшением значения переменной. Удобнее и математически проще найти максимум функции log L (ц) (которая

известна также под названием логарифмическая функция правдоподобия)'.

log!(|Li) = -logV2^-|(x1-M)2 . (12.3) Продифференцировав это выражение по ц, мы получим: *,-Ц = 0,поэтому оценка ц. по ММП равна х{. Вторая производная имеет отрицательное значение, и это подтверждает, что мы нашли максимум функции. Если мы применим ММП в классической модели линейной регрессии, предполагая нормальное распределение случайного члена, то оценки всех коэффициентов (но не дисперсия случайного члена) будут равны оценкам, полученным с помощью МНК. Поэтому переход от метода наименьших квадратов к ММП в данном контексте является скорее эволюцией, чем радикальным преобразованием. В настоящее время максимизируемая логарифмическая функция правдоподобия выдается почти всеми регрессионными пакетами диагностической статистики, сопровождающей результаты расчета регрессии. Ее можно использовать для проведения теста на отношение правдоподобия. Этот тест заключается в следующем. Пусть имеется две версии модели, и одна из них — версия другой с добавлением ограничений. Статистика 2(LLU-LLR), где LLU и LLR — логарифмические функции правдоподобия неограниченной и ограниченной версии модели, соответственно, на больших выборках подчиняется распределению х2 с s степенями свободы в случае принятия нулевой гипотезы о корректности ограниченной версии, где s — число наложенных ограничений. Существуют четыре причины для осторожности. Во-первых, имеющиеся обычно выборки,

особенно при анализе временных рядов, скорее являются малыми, чем большими. Единственный_путь проверки в случае каждого конкретного исследования — проведение

экспериментов по методу Монте-Карло. Во-вторых, наше решение поддерживается соображением о том, что столь популярные свойства состоятельности и асимптотической эффективности не являются безусловными. В-третьих, необходимо сделать предположение, что случайный член имеет определенное асимптотическое распределение; обычно предполагается нормальное распределение. В-четвертых, оценка по ММП занимает слишком много времени — как времени исследователя, так и компьютера. Оценки часто выводятся в результате решения системы одновременных уравнений с использованием итеративной процедуры, поскольку они не могут быть выражены в виде явных математических формул.