67. Двокроковий та трикроковий методи найменших квадратів.

1)Якщо рівняння структурної форми моделі над ідентифіковані (умова ідентифікованості записується у вигладь нерівності), то параметри моделі оцінюють за допомогою двокрокового методу найменших квадратів (2МНК), що передбачає виконання двох етапів:

а) перший – ендогенні змінні «звільняють» від стохастичних залишків;

6) другий – оцінені рівняння підставляють у структурну систему рівнянь, до яких потім застосовують звичайний МНК;

Система рівнянь для обчислення оцінок

деY – вектор залежної або ендогенної змінної;

Y₁ – матриця поточних ендогенних змінних, які входять у праву частину рівняння;

X – матриця всіх пояснювальних або екзогенних змінних;

X₁ – матриця пояснювальних або екзогенних змінних даного рівняння;

 – вектор структурних параметрів, які стосуються змінних матриці Y₁;

 – вектор структурних параметрів, які стосуються до змінних матриці X₁.

Тоді оператор оцінювання 2МНК запишеться так:

.

Дисперсія залишків для кожного рівняння має вигляд:

.

Матриця коваріацій параметрів кожного рівняння визначається на основі співвідношення:

.

2) Скорочення обсягу розрахунків стає особливо актуальним у процесі вивчення швидкоплинних процесів, а також у тому разі, якщо змінюється пріоритетність окремих незалежних змінних моделі. У цих випадках краще скористатися методом, що одночасно оцінює параметри всіх рівнянь системи, зокрема трикроковим методом найменших квадратів (ЗМНК).

Особливістю ЗМНК є те, що при оцінюванні параметрів системи загалом слід зважати на залежності між окремими рівняннями. Ці залежності виявляються в тому, що залишки окремих рівнянь корелюють між собою, тобто загальна матриця коваріацій системи є недіагональною. У такій ситуації найкращим методом оцінювання є узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена). Однак у цьому разі необхідно знати перше наближення матриці коваріацій. Для рівнянь множинної регресії з автокорельованимизалишками цю матрицю отримують на підставі залишків моделі, параметри якої оцінено за звичайним МНК, і вже після обчислення коефіцієнта кореляції коригують загальний оператор оцінювання параметрів рівняння.

Для систем рівнянь, особливо в разі надідентифікованості окремих рівнянь, краще початкове наближення матриці коваріацій визначають за залишками, які отримано в результаті оцінювання параметрів рівнянь за двокроковим МНК. Отже, саме поєднання 2МНК і методу Ейткена дало назву цьому методу.

Трикроковий метод найменших квадратів (3МНК), на відміну від попередніх, призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі. Оператор оцінювання 3МНК матиме вигляд:

де  – оцінки параметрів моделі;

Z_s = (Y_sX_s), – Z_s  – змінні моделі, які знаходяться в правій частині s-го рівняння;

 – дисперсії залишків для кожного рівняння, які є наближеною оцінкою .

Щоб застосувати 3МНК на практиці необхідно виконання таких вимог:

1) розпочинаючи оцінювати параметри моделі, необхідно вилучити всі тотожності;

2) виключити з системи кожне неідентифіковане рівняння;

3) за наявності серед рівнянь системи точно ідентифікованих та надідентифікованих 3МНК доцільно застосовувати до кожної з груп рівнянь окремо;

4) якщо група надідентифікованих рівнянь має тільки одне рівняння, то 3МНК перетворюється на 2МНК;

5) якщо матриця коваріацій для структурних залишків є блочно-діагональною, то вся процедура оцінювання на основі 3МНК може бути застосована окремо для кожної групи рівнянь, які відповідають одному блоку.