65. Ідентифікованість моделі. Необхідна та достатня умови ідентифікованості системи.

Щоб передбачити можливі варіанти розв'язання задачі оцінювання параметрів системи одночасних рівнянь, необхідно попередню дослідити модель, а саме перевірити ідентифікованість системи. Під проблемою ідентифікації розуміють можливість чисельної оцінки параметрів структурних рівнянь за оцінками коефіцієнтів зведених рівнянь.

Якщо ніяка лінійна комбінація рівнянь структурної форми не може привести до рівняння, що має ті самі змінні, як і деяке рівняння в структурній формі, то модель буде ідентифікованою.

Економетрична модель, задана системою одночасних рівнянь, називається точно (строго) ідентифікованою (ототожненою), якщо однозначно можна отримати оцінки її параметрів на основі оцінених параметрів зведеної моделі.

Надідентифікованою (переототожненою)називається така модель, що для деяких її параметрів можна отримати кілька кількісних значень на підставі параметрів зведеної форми. (Матриця E – A завжди не вироджена,Е-одинична матриця ) Умова ідентифікації має перевірятися для кожного рівняння системи.

Необхідна умова ідентифікації системи – справедливість нерівності для кожного рівняння моделі:

де  – кількість залежних ендогенних змінних, які входять в s-те рівняння структурної форми;

m – загальна кількість екзогенних змінних моделі;

 – кількість екзогенних змінних, які входять в s-те рівняння структурної форми моделі.

Число екзогенних змінних, які не входять у s-те рівняння структурної форми, дорівнює .

Якщо для всіх рівнянь моделі співвідношення виконується як рівність, то система рівнянь є точно ідентифікованою.

Якщо для всіх рівнянь моделі співвідношення виконується як нерівність, то система рівнянь єнадідентифікованою.

Необхідною умовою ідентифікації певного рівняння є: число змінних, які виключені з рівняння, має дорівнювати числу рівнянь моделі мінус одиниця.

Альтернативна умова ідентифікації була записана нами в :

яка потребує, щоб число виключених із рівняння екзогенних змінних було не меншим, ніж число ендогенних змінних мінус одиниця.

Необхідною і достатньою умовою ідентифікованості є: у моделі, що містить k рівнянь відносно k ендогенних змінних, умова ідентифікованості виконується тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з виключених з даних рівнянь змінних, але таких, що містяться в інших рівняннях системи, дорівнює k-1.

66. Непрямий метод найменших квадратів.

Застосування звичайного МНК до рівнянь структурної форми системи рівнянь призводить до отримання зміщених оцінок параметрів через корельованість (залежність) змінних і залишків моделі, що є порушенням однієї з передумов застосування МНК. Перехід від структурної форми моделі до скороченої є одним із способів, що усуває проблему корельованості, однак породжує іншу, а саме проблему ідентифікованості окремих рівнянь системи, а також системи загалом. Використовуюсь наступний метод- якщо кожне рівняння системи точно ідентифіковане, то параметри зведеної моделі оцінюють непрямим методом найменших квадратів (НМНК); ідея методу полягає в тому, щоб від структурної форми перейти до зведеної, звичайним МНК оцінити параметри останньої й оберненим перетворенням отримати оцінки параметрів структурної форми;

Метод складається з 2х процедур. Спочатку застосовується 1МНК для оцінки параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі. Основна особливість такої форми полягає в тому, що її здобуто в результаті розв’язування структурної системи рівнянь відносно поточних значень ендогенних змінних, і зведена форма виражає їх як функції всіх інших змінних моделі таким чином, що кожне рівняння в такій формі має поточне значення тільки однієї ендогенної змінної.

Алгоритм непрямого методу найменших квадратів.

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння структурної форми моделі. Якщо кожне рівняння точно індентифіковане, то переходимо до кроку 2.

Крок 2. Кожне рівняння структурної форми розв’язується відносно однієї з k залежних ендогенних змінних моделі, у результаті приходимо до зведеної форми моделі.

Крок 3. На основі 1МНК визначається оцінка параметрів окремо для кожного рівняння зведеної форми.

Крок 4. Розраховується оцінка параметрів рівнянь структурної форми за допомогою співвідношення AR = –B, де A і B параметри структурних рівнянь, а R  – матриця оцінок параметрів зведеної форми. ( )

Приклад .

У зведеній формі ця модель має вигляд

,

.

Позначимо

Тоді замість останніх співвідношень отримаємо

Через те, що обсяг інвестицій є екзогенною змінною моделі, ця змінна не корелює з випадковим залишком у зведеній формі системи рівнянь, а отже, і з залишками останньої системи. Це означає, що для випадкового члена виконуються передумови МНК. Тому оцінки параметрів , отримані за МНК, будуть незміщеними, обґрунтованими і ефективними. Знаючи ці оцінки, нескладно визначити оцінки коефіцієнтів рівняння початкової структурної системи: