62.Метод декомпозиції часового ряду. Розрахунок сезонної хвилі.

Метод декомпозиції часового ряду.

Часовий ряд (time series) – це ряд динаміки, впорядкований за часом, або сукупність спостережень економічної величини в різні моменти часу.

Існує дві основні мети аналізу часових рядів:

-визначення природи ряду та

-прогнозування.

Обидві ці цілі вимагають, щоб модель ряду була ідентифікованою і більш-менш формально описаною.

Розгляд реальних ситуацій дозволяє прийти до висновку, що типові часові ряди можуть бути представлені як декомпозиція із чотирьох структурно утворюючих елементів:

тренд (U_t),

сезонна компонента (S_t),

циклічна компонента (V_t) – коливання відносно тренда з більшою або меншою регулярністю,

випадкова компонента (E_t), тобто

.

Також можуть виділяти і інші компоненти

,

де  ‑ компонента, що забезпечує порівнянність елементів динамічного ряду,

 ‑ управляюча компонента, за допомогою якої впливають на значення членів динамічного ряду для формування в майбутньому бажаної траєкторії.

Очевидно, реальні дані цілковито не відповідають лише одній із наведених функцій, тож часовий ряд , можна уявити у вигляді розкладення:

, (9.3)

або різноманітних поєднань окремих функцій. Однак завжди припускають обов’язкову наявність випадкової складової. Розкладення (декомпозиція) часового ряду відбувається за такими варіантами моделей:

модель тренду , ; (9.4)

модель сезонності , ; (9.5)

тренд-сезонна модель , .(9.6)

Моделі тренду й сезонності (тренд-сезонні) можуть відображати як відносно постійну сезонну хвилю (цикл), так і динамічно змінювану залежно від тренду. Перша форма – (9.3–9.6) належить до адитивних, друга ( , , – до мультиплікативних моделей.

Тренд, сезонна і циклічна компоненти не є випадковими і називаються систематичними компонентами часового ряду.

в) циклічна компонента г) випадкова компонента

Розрахунок сезонної хвилі.

Проблема аналізу сезонності (та/або циклічності) полягає у дослідженні сезонних коливань і у вивченні зовнішнього циклічного механізму, що їх породжує. Для дослідження суто сезонних коливань необхідно виокремити з часового ряду у_t сезонну компоненту s_t і потім аналізувати її динаміку. Більшість методів фільтрації побудовано таким чином, що попередньо виокремлюється тренд, а потім сезонна компонента. Тренд у чистому вигляді необхідний і для аналізу динаміки сезонної хвилі. Оскільки індекси сезонності сезонної хвилі величини безрозмірні і не змінюються з року в рік, то їх можна використовувати для визначення рівня сезонності у часовому ряду. У разі використання квартальних даних їх буде чотири, а місячних спостережень – 12.

Найпростішим способом, який характеризує коливання рівнів досліджуваного показника, є розрахунок питомої ваги кожного рівня в загальному річному обсязі, або індексу сезонності.

Часові ряди з інтервалом менше року (місяць, квартал), як правило, містять сезонність. Сезонна компонента має період m: (m = 12 для ряду місячних даних; m = 4 – для ряду квартальних даних). Окрім того, відомо, що m кратне n, тобто , k – ціле число. Очевидно, якщо m – кількість місяців або кварталів у році, то k – кількість років, представлених у часовому ряду {у_t}. Тому вхідні дані тренд-сезонного часового ряду часто представляють у вигляді матриці {y_ij} розміру [k х m].

Розглянемо таку модель:

,

де  – «річна» складова (тренд);

 – індекс сезонності, або стала пропорційності для j-го кварталу (місяця), яка є безрозмірною величиною та не змінюється з року в рік.

Індекс сезонності І_jхарактеризує ступінь відхилення рівня сезонного часового ряду від ряду середніх (тренду) або, інакше кажучи, ступінь коливань відносно 100 %. Наближені оцінки індексів обчислюють як:

або ,

де

та . (9.13)

Якщо відомі оцінки тренду і сезонної компоненти в адитивній моделі, то можна оцінити точніше:

.

Останнє свідчить про можливості оцінювання рівня сезонності незалежно від того, яку модель розглядають: адитивну або мультиплікативну. Недоліком цього підходу є те, що він не враховує наявності випадкових коливань і тенденцію зміни середньорічного рівня й сезонної хвилі.

63.Системиодночаснихеконометричнихрівнянь. Ендогенні та екзогеннізмінні. Приклад.

де  – внутрішній валовий продукт;

 – основні виробничі фонди;

 – робоча сила;

 – матеріальні ресурси;

 – період часу.

Економетрична модель містить сукупність рівнянь, які описують зв’язки між економічними показниками. Взаємозв’язки між змінними можуть мати стохастичний і детермінований характер. Стохастичні зв’язки реалізуються з деяким рівнем імовірності і описуються регресійними рівняннями. Детерміновані співвідношення виражаються тотожностями і не містять випадкових величин.

Системи одночасових структурних рівнянь, як правило, включають лінійні рівняння. Нелінійність зв’язків здебільшого апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв’язків враховується за допомогою часових лагів, або лагових змінних.

Запишемо економетричну модель на основі системи одночасових рівнянь:

У цій моделі =1. Окремі коефіцієнти ..., , ..., можуть дорівнювати нулю, якщо відповідна змінна не входить до рівняння. Залишки , де s = 1,2, ..., k, також можуть дорівнювати нулю, якщо відповідне рівняння є тотожністю. Систему можна переписати в матричній формі

де Y – вектор ендогенних залежних змінних;

X – матриця екзогенних пояснювальних змінних;

u – вектор залишків;

A – матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром k × k;

B – матриця коефіцієнтів при змінних X розміром k × m;

Змінні, які містяться в правій частині системи рівнянь, є наперед заданими (вхідними) і називаються екзогенними(незалежними), а змінні, які містяться в лівій частині, знаходяться в результаті реалізації моделі і називаються ендогенними(залежними). Отже, змінна у є ендогенною для одного рівняння і одночасно екзогенною для іншого.

64.Структурна та зведена форми економетричної моделі. Повна економетрична модель.Економетрична модель у вигляді

безпосередньо відображає структуру зв’язків між змінними і томуназивається структурною формою економетричної моделі.

Структурна форма економетричної моделі описує одно- та багатосторонні стохастичні причинні співвідношення між економічними величинами в їх безпосередньому вигляді. Вона містить усю суттєву інформацію про залежності між економічними явищами та процесами. Кожне співвідношення такої системи (рівняння чи тотожність) має певну економічну інтерпретацію.

Економетрична модель називається повною, якщо:

а) вона охоплює змінні, що суттєво впливають на спільно залежні змінні, а вектор залишків має випадковий характер;

б) містить стільки рівнянь, скільки в ній є спільно залежних змінних, тобто кожна залежна змінна пояснюється окремим рівнянням;

в) система рівнянь має однозначний розв'язок відносно спільно залежних змінних, тобто матриця (E – A)в моделі

де

Y – вектор ендогенних залежних змінних;

X – матриця екзогенних пояснювальних змінних;

u – вектор залишків;

A – матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром k × k;

B – матриця коефіцієнтів при змінних X розміром k × m;

невироджена (має відмінний від нуля визначник) невироджена (має відмінний від нуля визначник).

Повна модель застосовується у випадках, коли необхідно кількісно описати економічне явище чи процес або спрогнозувати їх розвиток.

Якщо економетрична модель застосовується не для аналізу системи, а для передбачення чи оцінювання параметрів, структурна форма моделі неприйнятна. Алгебраїчними перетвореннями систему структурних рівнянь зводять до форми, у якій кожне рівняння містить лише одну ендогенну змінну, яка є функцією від екзогенних змінних. Така форма рівнянь називається зведеною.Зведену форму рівнянь можна назвати скороченою. Це пов'язано з тим, що при певних перетвореннях багато окремих економічних залежностей можуть бути виключені з розгляду, а отже, загальна кількість рівнянь може скоротитися.Внаслідок таких перетворень зведена форма рівнянь, на відміну від структурної, не має ні безпосередньої, ні будь-якої економічної інтерпретації. Рівняння у зведеній формі дають змогу передбачити, як зміниться значення ендогенної змінної, якщо змінюватимуться значення екзогенних змінних, однак па підставі цих рівнянь неможливо пояснити, як і чому це відбувається. Саме через це зведену форму рівнянь називають також прогнозною.