45. Оцінка параметрів моделі з автокорельованими залишками. Метод Ейткена.

7.3.1 Метод Ейткена (УМНК)

Як зазначалося, оператор оцінювання УМНК можна записати так:

Де  – вектор оцінок параметрів економетричної моделі;

 – матриця, обернена до матриці кореляції залишків;

 – матриця, обернена до матриці V, де , а  – залишкова дисперсія.

Звідси

Отже, щоб оцінити параметри моделі на основі методу Ейткена, треба сформувати матрицю S (7.2).

У цій симетричній матриці виражає коефіцієнт автокореляції s-го порядку для залишків . Очевидно, що коефіцієнт автокореляції нульового порядку дорівнює 1.

Оскільки коваріація залишків при s > 2 часто наближається до нуля, то матриця, обернена до матриці S, матиме такий вигляд:

Таку матрицю іноді пропонується використовувати при оцінюванні параметрів моделі з автокорельованими залишками за методом Ейткена.

При цьому для обчислення  використовується циклічний коефіцієнт кореляції r, розрахований за формулою (7.8) або (7.9).

Зауважимо, що параметр r (або ) має зміщення. Тому, використовуючи такий параметр для формування матриці S, необхідно скоригувати його на величину зміщення

де  – величина зміщення (m – кількість незалежних змінних).

46. Оцінка параметрів моделі з автокорельованими залишками. Метод Кочрена-Оркатта.

7.3.2 Метод Кочрена-Оркатта

Нехай задано економетричну модель

Перетворивши вихідну інформацію за допомогою , дістанемо:

У цій моделі залишки мають скалярну дисперсійну матрицю.

Сума квадратів залишків на основі (7.16) визначатиметься співвідношенням

Безпосередня мінімізація функції (7.17) приводить до системи нелінійних рівнянь, тому аналітичний вираз оцінок параметрів , і дістати важко.

Метод наближеного пошуку параметрів , і , які мінімізують суму квадратів (7.17), дає ітеративний метод, запропонований Кочреном і Оркаттом і названий на їхню честь.

Опишемо його алгоритм.

Крок 1. Довільно вибирають значення параметра , наприклад Підставивши його в (7.17), обчислюють і .

Крок 2. Поклавши і , підставимо їх у (7.17) і обчислимо

Крок 3. Підставивши в співвідношення (7.17) значення , знайдемо і .

Крок 4. Використаємо і для мінімізації суми квадратів залишків (7.17) за невідомим параметром . Процедура триває доти, доки наступні значення параметрів , і не будуть відрізнятись менш як на задану величину.

47. Прогноз на основі моделі з автокорельованими залишками.

Нехай маємо модель: де і яка побудована для n спостережень.

Використаємо цю модель для визначення прогнозу залежної змінної для періоду n +1 коли для цього періоду задано незалежну змінну . Формула дає найкращий незміщений прогноз:

де  – оцінка параметрів моделі згідно з методом Ейткена,

і

Якщо залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку, то з урахуванням рівності можна записати:

Отже, вектор W можна дістати, помноживши на останній стовпець матриці V. Але оскільки , то добуток являє собою останній рядок матриці E, помножений на .

Звідси .

Формула прогнозу має вигляд

48. Узагальнені економетричні моделі.

49. Поняття лагу і лагових змінних.

Для багатьох економічних процесів типово, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий час або протягом деякого часу. Таке явище називається запізнюванням (затримкою), а проміжок часу, у який спостерігається це запізнювання, – часовим лагом, або просто лагом.

Якщо в економетричній моделі незалежні змінні використовують за кілька попередніх періодів, то такі моделі називають моделями з кінцевим лагом (скінченними моделями). Якщо вилив незалежної змінної не обмежується певним періодом, розглядають нескінченні лагові моделі.

Звичайно, нескінченна лагова модель більш загальна, однак практичне застосування такої моделі досить проблематичне через велику кількість факторів, складність внутрішньої Структури та обмеженість часових рядів інформаційної бази моделей.