59. Методи фільтрації сезонної компоненти

Більшість методів фільтрації побудовано таким чином, що попередньо виокремлюється тренд, а потім сезонна компонента. Тренд у чистому вигляді необхідний і для аналізу динаміки сезонної хвилі. Оскільки індекси сезонності сезонної хвилі величини безрозмірні і не змінюються з року в рік, то їх можна використовувати для визначення рівня сезонності у часовому ряду. У разі використання квартальних даних їх буде чотири, а місячних спостережень – 12.

Найпростішим способом, який характеризує коливання рівнів досліджуваного показника, є розрахунок питомої ваги кожного рівня в загальному річному обсязі, або індексу сезонності.

Часові ряди з інтервалом менше року (місяць, квартал), як правило, містять сезонність. Сезонна компонента має період m: (m = 12 для ряду місячних даних; m = 4 – для ряду квартальних даних). Окрім того, відомо, що m кратне n, тобто , k – ціле число. Очевидно, якщо m – кількість місяців або кварталів у році, то k – кількість років, представлених у часовому ряду {у_t}. Тому вхідні дані тренд-сезонного часового ряду часто представляють у вигляді матриці {y_ij} розміру [k х m].

Розглянемо таку модель:

,

де  – «річна» складова (тренд);

 – індекс сезонності, або стала пропорційності для j-го кварталу (місяця), яка є безрозмірною величиною та не змінюється з року в рік.

Індекс сезонності І_j характеризує ступінь відхилення рівня сезонного часового ряду від ряду середніх (тренду) або, інакше кажучи, ступінь коливань відносно 100 %. Наближені оцінки індексів обчислюють як:

або ,

де

та .

Якщо відомі оцінки тренду і сезонної компоненти в адитивній моделі, то можна оцінити точніше:

.

Останнє свідчить про можливості оцінювання рівня сезонності незалежно від того, яку модель розглядають: адитивну або мультиплікативну. Недоліком цього підходу є те, що він не враховує наявності випадкових коливань і тенденцію зміни середньорічного рівня й сезонної хвилі.

60. Прогнозування тенденції часового ряду за механічними методами

Механічні методи згладжування часових рядів використовують фактичні значення сусідніх рівнів ряду і не досліджують аналітичний вид згладженої функції. Вони мають механізм автоматичного налагодження на зміну досліджуваного показника. Завдяки цьому модель постійно пристосовується до зміни інформації й наприкінці інтервалу прогнозової бази відображає тенденцію, що склалася на поточний момент. До механічних методів належать: згладжування по двох точках, метод простої ковзкої середньої, метод зваженої ковзкої середньої, метод експоненційного згладжування.

Адаптивні методи прогнозування застосовуються в ситуації зміни зовнішніх умов, коли найбільш важливими стають останні реалізації досліджуваного процесу. Загальна схема побудови адаптивних методів може бути подана так:

1) за кількома першими рівнями ряду будується модель і оцінюються її параметри;

2) на основі побудованої моделі розраховується прогноз на один крок вперед, причому його відхилення від фактичного рівня ряду розцінюється як помилка прогнозування, яка враховується відповідно до прийнятої схеми коригування моделі;

3) за моделлю з відкоригованими параметрами розраховується прогнозна оцінка на наступний момент часу тощо.

Схему такого процесу представлено на рис. 5.3.

Рисунок 9.5 – Схема побудови адаптивних моделей

Після надходження фактичного значення обчислюється помилка, розбіжність між фактичним і прогнозованим рівнем (довготермінова функція моделі): .

У моделі передбачається, що зміна фактичного рівня є деякою часткою ( ) від очікуваної зміни . Параметр називається коригувальним коефіцієнтом або параметром адаптації. За критерій оптимальності під час вибору параметра адаптації можна взяти мінімум середнього квадрата помилок прогнозування. Чим ближчий до одиниці, тим більше сподівання економічних суб’єктів відповідають реальній динаміці часового ряду, і навпаки, чим ближче до нуля – тим менше володіємо ситуацією, тому треба вносити корективи.

Таким чином, модель постійно вбирає в себе нову інформацію і до кінця періоду навчання відбиває тенденцію розвитку процесу, що існує на даний момент. Прогноз отримується як екстраполяція останньої тенденції. Численні адаптивні методи відрізняються один від одного лише способами числової оцінки параметрів моделі і визначення параметрів адаптації. Базовими адаптивними методами вважаються методи Хольта, Брауна і Хольта-Уїнтерса.

61.Адаптивні методи прогнозуваннязастосовуються в ситуації зміни зовнішніх умов, коли найбільш важливими стають останні реалізації досліджуваного процесу. Загальна схема побудови адаптивних методів може бути подана так: 1) за кількома першими рівнями ряду будується модель і оцінюються її параметри; 2) на основі побудованої моделі розраховується прогноз на один крок вперед, причому його відхилення від фактичного рівня ряду розцінюється як помилка прогнозування, яка враховується відповідно до прийнятої схеми коригування моделі;3) за моделлю з відкоригованими параметрами розраховується прогнозна оцінка на наступний момент часу тощо.

Після надходження фактичного значення обчислюється помилка, розбіжність між фактичним і прогнозованим рівнем (довготермінова функція моделі): .

У моделі передбачається, що зміна фактичного рівня є деякою часткою ( ) від очікуваної зміни . Параметр називається коригувальним коефіцієнтом або параметром адаптації. За критерій оптимальності під час вибору параметра адаптації можна взяти мінімум середнього квадрата помилок прогнозування. Чим ближчий до одиниці, тим більше сподівання економічних суб’єктів відповідають реальній динаміці часового ряду, і навпаки, чим ближче до нуля – тим менше володіємо ситуацією, тому треба вносити корективи.

Таким чином, модель постійно вбирає в себе нову інформацію і до кінця періоду навчання відбиває тенденцію розвитку процесу, що існує на даний момент. Прогноз отримується як екстраполяція останньої тенденції. Численні адаптивні методи відрізняються один від одного лише способами числової оцінки параметрів моделі і визначення параметрів адаптації. Базовими адаптивними методами вважаються методи Хольта, Брауна і Хольта-Уїнтерса.

Модель Брауна

Якщо є часовий ряд спостережень , то прогноз в момент часу t на кроків вперед можна здійснити за формулою ,де  – поточні оцінки коефіцієнтів адаптивного поліному.

В моделі Брауна модифікація (адаптація) коефіцієнтів лінійної моделі здійснюєтьсянаступнимчином

,

де  – коефіцієнт дисконтування даних,

 – похибка прогнозу ( ).

Початкові значення параметрів моделі можна визначити за методом МНК на основі декількох перших спостережень. Оптимальне значення параметра дисконтування знаходиться в межах [0;1], визначається методом чисельної оптимізації і є постійним для всього періоду спостережень. За рахунок оператору В можна зрушувати всю послідовність на один крок назад: . Застосування оператору В до спостережень і до коефіцієнтів адаптивного поліному дозволяє виразити модель Брауна у вигляді

. (9.17)

Тоді модель Брауна можна трактувати як модель авторегресіїARIMA (0, 2, 2)-моделлю: з коефіцієнтами ковзної середньої – та .

Точковий прогноз розраховують після підстановки значення в оцінювану модель. Межі інтервалу надійності прогнозу можна визначити за формулою: ,де величини .