- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Методы замены переменной
- •4.Метод интегрирования по частям.
- •5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
- •6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- •7.Метод неопределенных коэффициентов.
- •8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
- •9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- •10.Понятие определенного интеграла.
- •11.Основные свойства определенного интеграла.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- •19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •20.Непрерывность функции n переменных.
- •21.Непрерывность сложной функции.
- •22.Частные производные функции n переменных.
- •23.Дифференцируемость функции n переменных.
- •24.Дифференциал функции n переменных.
- •25.Дифференцирование сложной функции.
- •26.Производная по направлению. Градиент.
- •27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- •29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- •30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- •Необходимое условие локального экстремума
- •31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •32.Неявные функции.
- •33.Условный экстремум
- •34.Метод множителей Лагранжа.
- •35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •36Свойства сходящихся числовых рядов.
- •38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •39.Признак сравнения.
- •40.Признак Даламбера.
- •42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •44.Степенные ряды.
- •45.Теорема Абеля.
- •46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- •47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
Понятие функции n- переменных. Пусть каждой точке М из множества точек {M} n-мерного евклидова пространства Еn по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число u из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множества {M} задана функция u=f(M) При этом множества {M} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M), а u частным значением функции в точке M.
Предел функции n-переменных
Пусть каждому К из множества натуральных числе поставлена в соответствие точка МкЕn, то последовательсность точек М1, М2…Мn будет называться последовательностью точек n-мерного Евклидова пространства
Последовательность точек {Мk} включенных в Еn называется сходящейся, если существует такая точка А, что для любого числа >0 можно указать номер N, начиная с которого (при n>N) все точки этой последоватльности будут находится в -окрестности точки А, т.е. р(Мn, А)< Тогда число А называется пределом последовательности {Mn}
Рассмотрим функцию u=f(M), определенную на множестве М, включенном в n-мерное евклидово пространство. (D(f)={M}Еn
Пусть а- некоторая точка n-мерного евклидова пространства:
1.А{M}
2.А{M} но в любой -окрестности точки А содержится хотя бы одна точка множества М
Предел функции. Число b называют пределом функции f(M) в точке А (при МА), если для любой последовательности точек {Mn} из множества {M}, сходящейся к точке А (Mn Отлична от А), соответствующая последовательность значений функции {f(Mn)} сходится к b.
По Коши: Число b называется пределом функии f(M) в точке А, если для любого числа >0 можно найти такое число >0, что для всех точек М множества {M} из -окрестности точки А (удовлетворяющих неравенству р(М,А)<) выполняется неравенство |f(M)-b|<
[T] Пусть две функции f(M) и g(M) определенные на одном множестве {M}, имеют соответственно пределы b и с в точке А. Тогда функции f(M)g(M), f(M)g(M) и f(M)\g(M) (при с0) имеют пределы в точке А, равные соответственно bc, bc и b\c.
Функция u=f(M) называется б-м в точке А, если ее предел в ней равен 0
Функция u=f(M) называется б-б в точке А, если ее предел в ней бесконечен
20.Непрерывность функции n переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных
1)Пусть функция u=f(M) определена на множестве {M} н-мерного евклидова пространства. Возьмем точку А{M}, любая -окрестность которой содержит точки множества М.
2)Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке
Следствие: для непрерывных функций знак предела и функции можно поменять местами.
3)Непрерывность функции по Гейне: Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если для любой последовательности {Mn} сходящейся к А, соответствующая ей последовательность {f(Mn)} сходится к f(A)
4) Функция u=f(M) называется непрерывной в точке K, если для любого >0 найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех M принадлежащих {M}, удовлетворяющих условию р(М,А)< выполняется неравенство |f(М)-f(А)|<
5)Функция u=f(M) непрерывна на множестве {M} если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Точки н-мерного евклидово пространства для которых функция u=f(M) не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва этой функции.
Приращением или полным приращением функции u=f(M) в точке А называется разность u=f(M)-f(A)
Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при M->0.
Непрерывность функции n-переменных по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных.
Рассмотрим частное приращение функции в точке М (X1,X2,..Xn)
Зафиксируем все переменные этой функции, кроме одной, аргументу X1 дадим приращение x1, имеем:
u=f(x1+x1, x2+x2,…Xn)-f(x1, x2,…Xn)
U=f(x1, x2,…xn)
x1U=f(x1+x1, …xn)-f(x1, x2,…Xn)
Причем x1 М’(x1+x1,…xn){M}
Аналогично выводится частное приращение функции по остальным переменным
хnU=f(X1,x2, …, Xn-1, Xn+ xn)-F(x1, x2,…Xn)
Функция u=f(x1,x2,…xn) называется непрерывной в т М(x1, x2, …xn) по переменной Хк, если частное приращение этой функции хкU является б-м функцией при хк->0
Для непрерывных функций справедливые теоремы аналогичные теоремам о непрерывных функциях одной переменной:
1.функций Пусть функции f(M) и g(M)
непрерывны на одном и том же множестве {M}
Тогда функции f(M)g(M), f(M)*g(M)
и f(M)\g(M) также непрерывна в точке F
(частное при g(A))
Также справедливы:
1.теорема об устойчивости знака непрерывной
функции
2 .2 теорема Больцано-Коши о прохождении любой
непрерывной функции через промежуточ-
ное значение
3.1и 2 торемы Вейерштраса.