- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Методы замены переменной
- •4.Метод интегрирования по частям.
- •5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
- •6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- •7.Метод неопределенных коэффициентов.
- •8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
- •9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- •10.Понятие определенного интеграла.
- •11.Основные свойства определенного интеграла.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- •19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •20.Непрерывность функции n переменных.
- •21.Непрерывность сложной функции.
- •22.Частные производные функции n переменных.
- •23.Дифференцируемость функции n переменных.
- •24.Дифференциал функции n переменных.
- •25.Дифференцирование сложной функции.
- •26.Производная по направлению. Градиент.
- •27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- •29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- •30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- •Необходимое условие локального экстремума
- •31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •32.Неявные функции.
- •33.Условный экстремум
- •34.Метод множителей Лагранжа.
- •35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •36Свойства сходящихся числовых рядов.
- •38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •39.Признак сравнения.
- •40.Признак Даламбера.
- •42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •44.Степенные ряды.
- •45.Теорема Абеля.
- •46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- •47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
45.Теорема Абеля.
Если степенной ряд (1) сходится при х=х0 (х0 0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию я х< х0.
Если ряд (1) расходится при х= х1,то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию х<х1.
Док-во: 1)т.к. по условию числовой ряд anx0n сходится, то его общий член anx0n 0 при
n=0
n, откуда следует, что последовательность { anx0n } ограничена , т.е. существует число M>0 такое, что anx0n <M, n =0, 1, 2… (2) Перепишем ряд (1) в виде
a0 + а1х0 (х/х0) + а2х20 (х/х0)2 +…+ аn хn0 (х/х0)n +… (3) и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов : a0+ а1х0х/х0 + а2х20х/х02 +…+ аn хn0х/х0n +… (4).
Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда
М+ Мх/х0 + Мх/х02 +…+Мх/х0n +… (5) При х< х0 ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=х/х0<1 и, следовательно, сходится.
Т.к. члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5) то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это значит, что ряд (1) при х< х0 сходится абсоютно.
По условию, в точке x1 ряд (1) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех x , удовлетворяющих условию х> х1. Предположим обратное, т.е. допустим, что при некотором значении х таком, что х> х1, ряд (1) сходится. Тогда по только что доказанной первой части теоремы ряд (1) должен сходиться и в точке х1, т.к. х1< х. Но это противоречит тому, что в точке х1 ряд расходится.
Теорема Абеля утверждает, что если х0 – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале (-х0, х0), этот ряд сходится абсолютно, а если х1 – точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне интервала (-х1, х1), ряд расходится.
46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
Если ряд аn хn (1) сходится на при всех значениях х и не только при х=0, то
n=0
существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при х<R и расходится при х>R.
Д ок-во: обозначим через Х множество точек х, в которых ряд (1) сходится. Покажем, что множество Х ограничено. Действительно, если взять точку х1, в которой ряд расходится (по условию такие точки существуют), то по теореме Абеля для любого х из множества Х выполняется неравенство х< х1. Известно, что у ограниченного сверху множества существует ТВГ. Положим R = supx. Так как ряд сходится не
xХ
только при х=0, то R>0.
Возьмём теперь любое х, для которого х< R. Согласно свойству ТВГ найдется х0Х такое, что х< х0 R, откуда по теореме Абеля следует абсолютная сходимость ряда при взятом х.
Возьмём теперь любое х, для которого х> R. Такое хХ. Следовательно, при этом х ряд расходится.
Таким образом, решён вопрос об области сходимости степенного ряда. Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R=), у других вырождается в одну точку R (R=0). Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При х = R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.