- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Методы замены переменной
- •4.Метод интегрирования по частям.
- •5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
- •6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- •7.Метод неопределенных коэффициентов.
- •8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
- •9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- •10.Понятие определенного интеграла.
- •11.Основные свойства определенного интеграла.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- •19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •20.Непрерывность функции n переменных.
- •21.Непрерывность сложной функции.
- •22.Частные производные функции n переменных.
- •23.Дифференцируемость функции n переменных.
- •24.Дифференциал функции n переменных.
- •25.Дифференцирование сложной функции.
- •26.Производная по направлению. Градиент.
- •27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- •29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- •30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- •Необходимое условие локального экстремума
- •31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •32.Неявные функции.
- •33.Условный экстремум
- •34.Метод множителей Лагранжа.
- •35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •36Свойства сходящихся числовых рядов.
- •38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •39.Признак сравнения.
- •40.Признак Даламбера.
- •42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •44.Степенные ряды.
- •45.Теорема Абеля.
- •46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- •47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
Если существует предел lim an+1/an0 ,то радиус сходимости степенного ряда аnхn
n n=0
(1) равен R= lim an/an+1.
n
Док-во: рассмотрим ряд аnхn(2). По условию существует предел lim an+1/an0.
n=0 n
Обозначим его через 1/R. Тогда lim an+1xn+1/anxn=x lim an+1/an=x/R.
n n
При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом. Поэтому по признаку Даламбера ряд (2) также сходится, если x/R<1 ,т.е. х< R. Следовательно, по теореме о сходимости знакопеременных рядов ряд (1) также сходится при х< R, причём абсолютно. При х> R ряд (1) расходится, т.к. lim an+1xn+1/anxn=x/R>1 и ,
n
следовательно, общий член ряда аnхn не стремится к нулю при n.
Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала (-R,R) и расходится вне его, т.е. радиус сходимости R= lim an/an+1
n
Замечание. Можно доказать, что если lim an+1/an= 0, то ряд (1) сходится на всей
n
числовой прямой, т.е. R=, а если lim an+1/an=,то ряд сходится только при х=0, т.е.
n
R=0.