33.Условный экстремум

Задача отыскания экстремума функции аргументы которой удовлетворяют дополнительному условию связи называется задачей отыскания условного экстремума.

Рассмотрим вопрос отыскания экстремума функции z=f(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn)

Будем говорить, что эта функция при наличии условий связи (2) имеет условный максимум (минимум) в точке Мо, координаты которой удовлетворяют этим условиям связи, если существует окрестность точки Мо, для которой значение этой функции в точке Мо является наибольшим (наименьшим) среди всех точек координаты которых удовлетворяют эти условиям связи.

Первый способ решения задачи условного экстремума:

Основная его идея – переход от задачи условного экстремума к задаче безусловного экстремума.

Пусть у функции F1, F2, …Fm дифференцируема в окрестности точки Mо и непрерывны в окрестности точки Мо. Пусть, кроме того, Якобиан неравен 0 в точке Мо. Тогда система (2) имеет непрерывное дифференцируемое решение . Подставим это решение в функцию 2: z=

34.Метод множителей Лагранжа.

Метод неопределенных множителей Лагранжа. Если система функций уравнений (2) неразрешима, либо ее решение затруднительно для вас, используют более универсальный способ – метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея та же – переход от условного экстремума к безусловному.

L=f+1F1+2F2+…+mFm (4)

Функция Лагранжа.

Теперь находим экстремум этой функции. Здесь 1, 2,…n –множители Лагранжа.

Предположим, что функция дифференцируема

L(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn,1,2,…n)

Необходимые условия экстремума:

Необходимые условия экстремума

Э

та система содержит u+2m уравнений и u+2m переменных.

Мо(

о(

Для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.

35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.

Рассмотрим производную числовую последовательность а1, а2,….аn, …

Формально из элементов этой последовательности составим сумму

1. а1+а2+а….+аn=

Такую сумму принято называть числовым рядом или просто рядом а1,а2,…аn, … элементы члены ряда

An – общий член ряда

Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой n-переменных

Если для данного ряда предел последовательности частичных сумм не сущетствует, то такой рад называется расходящимся.

36Свойства сходящихся числовых рядов.

Св. сход. Рядов

1⁰ Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость(расходимость) ряда

2⁰ Если ряд а₁+а₂+…..+а_n+…..=3_n=1^%а_n сходится и имеет сумму S то сход. Также и ряд 3_n=1^%ka_n, где k не равняется 0 и постоянное число, при чём сумма этого ряда равна kS

3⁰ Если ряды 3_n=1^%а_n и 3_n=1^% b_n сходятся и суммы их соответственно равны S’ и S”, то и ряд 3_n=1^%(а_n b_n) также сходится , при чём его сумма S=S’S”

2⁰ и 3⁰ следуют из соответствующих свойств сходящихся последовательностей

4⁰ Общий член а_n сходящегося ряда стремиться к 0 при n0

37. Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.

Т. Если ряд сходится, то его общий член стремится к 0.

а_n=S_n-S_n-1 и, поскольку ряд сход., S_nS и S_n-1S при n, где S- сумма ряда отсюда и след. Справедл. Данного св., кот. Наз. Необх. Услов. Сход. Ряда(если оно не соблюдается то ряд расходится)

Замеч. 4⁰ явл. необх. Усл. , но не явл. достаточн. ,т.е. по нему нельзя провер. сход. ряда

Сходимость Гармонического ряда

1+1/2+1/3+1/4+…..+1/n+…..=3_n=1^%1/n

lim _nY%1/n=0, но тем не менее этот ряд расход.

П.п. гармонич. Ряд сходится:

lim _nY%S_2n=S

lim _nY%S_n=S

S_2n- S_n

lim _nY%(S_2n- S_n)=S-S=0

S_2n- S_n=1/(n+1)+1/(n+2)+…..+1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+1/2n=n*2n=1/2

Мы пришли к противоречию, гармонич. Ряд расходится.