- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Методы замены переменной
- •4.Метод интегрирования по частям.
- •5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
- •6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- •7.Метод неопределенных коэффициентов.
- •8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
- •9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- •10.Понятие определенного интеграла.
- •11.Основные свойства определенного интеграла.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- •19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •20.Непрерывность функции n переменных.
- •21.Непрерывность сложной функции.
- •22.Частные производные функции n переменных.
- •23.Дифференцируемость функции n переменных.
- •24.Дифференциал функции n переменных.
- •25.Дифференцирование сложной функции.
- •26.Производная по направлению. Градиент.
- •27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- •29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- •30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- •Необходимое условие локального экстремума
- •31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •32.Неявные функции.
- •33.Условный экстремум
- •34.Метод множителей Лагранжа.
- •35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •36Свойства сходящихся числовых рядов.
- •38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •39.Признак сравнения.
- •40.Признак Даламбера.
- •42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •44.Степенные ряды.
- •45.Теорема Абеля.
- •46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- •47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
24.Дифференциал функции n переменных.
Дифференциал функции нескольких переменных
Дифференциалом du дифференцируемой в точке М(х1,х2,…,хn) функции u=f(x1,x2,…,xn) называется главное линейное относительно приращения аргумента часть приращения этой функции в точке М.
Du= A1x1+A2x2+….+AnXn
Если все коэффициенты Ai=0, то дифференциал функции в точке М считается равным 0.
Дифференциал независимой переменной.
Под дифференциалом dxi независимой переменной Хi, понимают любое не зависящее от х1,х2,…,хn число b. В дальнейшем условимся: dxi= i= . Du=A1dx1+A2dx2+…Andxn
Используя результат теоремы или формулу (5)можно записать рабочую формулу для вычисления дифференциала: du=
25.Дифференцирование сложной функции.
Дифференцирование сложной функции.
Рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции нескольких переменных вида:
U=f(M)=f(X1,x2,…xn) (1)
Xi=i(t1,t2,…,tk), I=1,2,…m (2)
[T] Пусть функция (2) дифференцируема в некоторой точке Nо ( , а функция (1) дифференцируема в точке Мо( , причем Тогда сложная функция u=f(x1,x2,…,xn), где Х1,Х2,…,Хn определяется по формулам (2) дифференцируема в точке Мо, при этом частные производные этой сложной функции вычисляются по формулам:
….
в которых берутся в точке Mо, а частные производные берутся в точке Nо.
Следствие: если функции x=x(t) , у=у(t) дифференцируемы в точке To, а функция z=f(x,y) дифференцируема в точке Мо(Xo,Yo), где Xo=X(to), yo=y(to), то z=f(x(t),y(t)) дифференцируется в точке to, причем производная сложной функции dz/dt вычисляется по формуле
26.Производная по направлению. Градиент.
Производная по направлению. Градиент. Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z). Пусть она определена в некоторой окрестности точки Мо(хо,yo,zo) принадлежащей 3- мерному евклидову пространству и дифференцируема в точке Мо. Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Мо. Каждый такой луч заадется единственным вектором (соs, cos,cos) Угол наклона к осям. Зафиксируем один такой луч. Проведем из точки Мо луч, содержащий единичный вектор M. Зафиксируем на нем точку М и определим отрезок МоМ. Если l- длина этого отрезка, то его координаты (lcos, lcos, lcos) C другой стороны: (x-xo, y-yo, z-zo)
Т.о. получили один и тот же отрезок:
П риравняем
u=f(Xo+lcos, Yo+lcos, Zo+lcos)
Т.о. u- сложная функция.
Производную указанной сложнгой функции по переменной l, взятую в точке l=0 называют производной функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определяемому единичным вектором l. Обозначение:
Производная функции по направлению единичного вектора.
Градиентом функции u=f(x,y,z) в данной точке Мо(xo,yo,zo) называется вектор, координаты которого имеют вид gradu(Mo)=
Если: u=f(x1,x2,…,xn) Mo(
Основные свойства градиента:
1.Градиент функции y=f(x,y,z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо.
2.Производные функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определенный градиент этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению со значением производной в этой точке по любому другому направлению
Геометрический смысл градиента:
Линии уровня для функции двух переменных u=f(x,y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение.
Если В каждой точке линии уровня M(xо,yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной.
Поверхность уровня- фунция u=f(x,y,z) в точке Мо (xo,yo,zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение.
Свойства: если в каждой точке Mo(xo,yo,zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.