- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Методы замены переменной
- •4.Метод интегрирования по частям.
- •5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
- •6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- •7.Метод неопределенных коэффициентов.
- •8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
- •9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- •10.Понятие определенного интеграла.
- •11.Основные свойства определенного интеграла.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- •19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •20.Непрерывность функции n переменных.
- •21.Непрерывность сложной функции.
- •22.Частные производные функции n переменных.
- •23.Дифференцируемость функции n переменных.
- •24.Дифференциал функции n переменных.
- •25.Дифференцирование сложной функции.
- •26.Производная по направлению. Градиент.
- •27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- •29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- •30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- •Необходимое условие локального экстремума
- •31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •32.Неявные функции.
- •33.Условный экстремум
- •34.Метод множителей Лагранжа.
- •35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •36Свойства сходящихся числовых рядов.
- •38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •39.Признак сравнения.
- •40.Признак Даламбера.
- •42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •44.Степенные ряды.
- •45.Теорема Абеля.
- •46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- •47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
12.Интеграл с переменным верхним пределом.
Интеграл с переменным верхним пределом.
x [a,b]
Это интеграл у которого нижний предел а=const а верхний предел х переменный. Величина этого интеграла представляет собой функцию верхнего предела х
(х)= , где х принадлежит сегменту [a,b] и ф(х)= интеграл с переменным верхним пределом. Геометрически интеграл с переменным верхним пределом представляет собой S криволинейной трапеции.
[Т] Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. Ф’(x)=( )’x=f(x)
Ф’(x)=( )’=f(x)
Ф’(x)=
Доказательство:
1 вариант (учебники): возьмем любое значение x[a,b] и придадим ему приращение х0 такое, чтобы х+ х[a,b], т.е. ax+ хb. Тогда функция Ф(х) по определению получит новое значение: Ф(х+ х)=
Согласно второму свойству определенного интеграла, имеем: Ф(х+ х)= + =Ф(х)+ Ф=Ф(х+Х)-Ф(х), т.к. f(x) непрерывна на [a,b] то существует число c[x, x+x]:[ =f(c)x]. Если устремить приращение аргумента к нулю, получим : =f(x) или Ф’(х)=f(x), ч т.д. Можно записать, что f(x)dx=Ф(x)+C= +C
2 вариант (Деревенских) Ф’(х)= Ф(х)= - = + - = =f(c)* x. По теореме о среднем существует c[x, x+x]
Ф’(x)= Отсюда следует, что Ф’(x)=f(x)
13.Формула Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона- Лейбница
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на этом отрезке семейство первообразных, одной из которых является Ф(х)= .
[Т] Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то верно следующее равенство . Т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равн разности значений любой ее первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования соответственно. Она называется формулой Ньютона-Лейбница.
Доказательство: Пусть F(x) другая первообразная для функции f(x) на том же отрезке, которая отличается от Ф(х) не более чем на константу, т.е. Ф(х)=F(x)+C, =F(x)+C, где С- некоторое число, axb. Подставляя в это равенство значение х=а и используя свойство 1, имеем: =0, получим: 0= , F(a)+C, C=-F(a)
Т.е. для любого х[a,b] Полагая здесь х=b получим искомую формулу.
Замена переменных в определенном интеграле.
Замена переменных в определенном интеграле
[T] пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и пусть выполнены следующие условия:
1.функцию х=(t) дифференцируема на [,] и ’(t) непрерывна на [,]
2.Множеством значений функции х=(t) является отрезок [a,b]
3.()=a и ()=b, то справедлива формула
Доказательство: По формуле Ньютона- Лейбница: , где F(x)-какая-нибудь первообразная для функции f(x) на [a,b]. С другой стороны, рассмотрим сложную функцию Ф(t)=F((t)) Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим: Ф’(t)=F’((t))*’(t)=f((t))’(t). Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f((t))’(t), непрерывной на [,] и поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем, = Ф()-Ф()=F(())-F(())=F(b)-F(a)=
Это формулы замены переменной или подстановки в определенном интеграле.
Замечание1. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной мы должны были от новой переменной t возвращаться к старой переменной х, то при вычислении определенного интеграла этого можно не делать, т.к. цель- найти число, которое в силу доказанной формыл равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.