- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Методы замены переменной
- •4.Метод интегрирования по частям.
- •5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
- •6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- •7.Метод неопределенных коэффициентов.
- •8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
- •9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- •10.Понятие определенного интеграла.
- •11.Основные свойства определенного интеграла.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- •19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •20.Непрерывность функции n переменных.
- •21.Непрерывность сложной функции.
- •22.Частные производные функции n переменных.
- •23.Дифференцируемость функции n переменных.
- •24.Дифференциал функции n переменных.
- •25.Дифференцирование сложной функции.
- •26.Производная по направлению. Градиент.
- •27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- •29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- •30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- •Необходимое условие локального экстремума
- •31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •32.Неявные функции.
- •33.Условный экстремум
- •34.Метод множителей Лагранжа.
- •35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •36Свойства сходящихся числовых рядов.
- •38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •39.Признак сравнения.
- •40.Признак Даламбера.
- •42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •44.Степенные ряды.
- •45.Теорема Абеля.
- •46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- •47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
Необходимое и достаточное условие сход. Числового ряда с неотриц. Членами
Пусть n=1an и любой аn0
Тm. Для того, чтобы ряд с неотриц. Членами сходился н. и д. , чтобы послед. Частичных сумм {Sn} этого ряда была ограниченной.
Доказ. Необходимость: пусть ряд n=1an сходится, тогда по опред послед. Частичных сумм {Sn} также сходится, следовательно по tm всякая сходящаяся послед. Ограничена
Достаточность: пусть {Sn} – ограниченная последовательность ,т.к. любой аn0, то 0S1S2…..Sn, т.е. послед. Монотонная неубывающая, по tm всякая Монотонная неубывающая последовательность сходится и ряд также сходится
39.Признак сравнения.
Пусть для двух рядов си неотрицательными членами (1)и (2)выполняется неравенство ab для всех n. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а расходимость ряда (1) влечет за собой расходимость ряда (2)
Доказательство: Пусть Sn и Sn’ частичные суммы соответственно рядов 1 и 2. Из условия теоремы следует, что SnSn’ Если ряд 2 сходится, то по теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда последовательность {Sn’} ограничена, значит, монотонная последовательность {Sn} также ограничесна, т.е. она также сходится. Если ряд 1 расходится, то ряд 2 не может сходиться, иначе в силу первой части доказательства будет сходится и ряд 1. ч.т.д.
Замечание: для того, чтобы проверить сходимость-расходимость числового ряда его надо сравнить с заведомо сходящимся рядом *например бесконечно убывающей геометрической прогрессией) или заведомо расходящимся (например с грамоническим рядом или бесконечной программой с q>1)
40.Признак Даламбера.
Пусть дан ряд an (111) с положительными членами и существует
n=1
предел lim ((an+1)/(an))=. Тогда:
n
а) при <1 ряд сходится; б) при >1 ряд расходится.
Док-во: а) Пусть <1 и lim ((an+1)/(an))=. Докажем, что ряд (111)
n
сходится. .По определению предела числовой последовательности для любого >0 существует номер N такой, что при nN выполняется неравенство (an+1)/(an) - < . Отсюда следует, что -< (an+1)/(an)<+ (1). Т. к. <1, то можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство +<1. Полагая += q, на основании правого из неравенств (1) имеем (an+1)/(an)<q, или an+1 < anq для n=N, N+1, N+2… (2) Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем aN+1<aNq, aN+2<aN+1q< aNq2, aN+3<aN+2q< aNq3, …….., т.е. члены ряда aN+1+aN+2+ aN+3+… меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии: aNq+ aNq2+ aNq3+… (3). Так как q<1 , то ряд (3) сходится. Но ряд (2) получен из данного ряда (111 ) в результате отбрасывания конечного числа первых членов, след-но, по теореме о свойстве сходящихся рядов ряд (111) сходится.
б) Пусть теперь >1. Докажем, что ряд (111) расходится. Возьмём настолько малым, чтобы -<1. Тогда при nN в силу левого из неравенств (1) выполняется неравенство (an+1)/(an)>1 или an+1> an. Таким образом, члены ряда , начиная с некоторого номера N , возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда an не стремится к нулю при n. Следовательно, по теореме о необходимом условии сходимости ряда, ряд (111) сходится.
Замечание. При =1, как показывают примеры, ряд (111) может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью др. признаков.
41.Интегральный признак Коши.
Пусть дан ряд f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…= f(n)
n+1 (222) , члены которого являются значениями некоторой функции f(x , положительной, непрерывной и убывающей на +
полуинтервале [1, +). Тогда, если f(x)dx (333) сходится, то сходится и
1
ряд (222).Если же (333)расходится , то и ряд (222) также расходится.
Док-во: Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), с боковых сторон прямыми x=1, x=n, снизу осью Ох. Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями [1,2], [2,3],…, [n-1,n] и высотами f(1), f(2), f(3),…, f(n-1), f(n). Тогда, принимая во внимание геометрический смысл определённого интеграла, имеем
n
f(2)+f(3)+…+f(n)<f(x)dx (444)<f(1)+f(2)+…+f(n-1) , или, короче,
n 1
Sn-f(1)<f(x)dx<Sn-f(n).
1 n n
Отсюда получаем: Sn<f(1) + f(x)dx (1), Sn>f(n) + f(x)dx (2) ,где Sn –
1 1
частичные суммы рассматриваемого ряда. Пусть интеграл (444) сходится. Это значит, что существует lim (444)=I.
n Так как f(x)>0, то последовательность (444) возрастает с увеличением n и ограничена сверху своим пределом: (444)<I. Из неравенства (1) следует , что Sn<f(1) + I, т.е. последовательность частичных сумм {Sn} ряда (222) ограничена. По теореме о необходимом и достаточном условиях сходимости ряда с неотрицательными членами ряд (222) сходится.
Пусть теперь интеграл (333) расходится. В этом случае (444)+ при n (как монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (2) следует, что Sn+ при n, т.е. последовательность частичных сумм {Sn} ряда (222) расходится и, следовательно, ряд расходится.