3. Методы замены переменной

1.Метод подстановки или метод замены переменных.

Достаточно часто введение новой переменой позволяет свести интеграл к табличному

[Т] Пусть функция х=(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х- множество значений этой функции, на котором определена функция y=f(x), т.е. на T определена сложная функция y=f[(t)]. Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную F(x), то справедлива формула f(x)dx|_x=(t)= f[(t)]’(t)dt. Доказательство: Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x). Рассмотрим на множестве T сложную функцию F[(t)]. Продифференцируем ее по правилам дифференцирования сложной функции: F’[(t)]*’(t)=f’[(t)]*’(t) мы получили что эта функция имеет на множестве Т первообразную F[(t)]. f[(t)]*’(t)dt=F[(t)]+C=F(x)+C|_x=(t)= f(x)dx|_x=(t). Получили искомую формулу.

4.Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

[Т] Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’(x)*v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т.е. существует v(x)u’(x)dx. Тогда на промежутке Х функция имеет u(x)v’(x) также имеет первообразную и справедлива формула: u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)- v(x)u’(x)dx. Доказательство: Из равенства [u(x)*v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) следует u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x). Первообразной функции [u(x)v(x)]’ на промежутке Х является функция u(x)v(x). Функция u’(x)v(x) имеет первообразную на Х по условию теоремы. Следовательно, и функция u(x)v’(x) имеет первообразную на промежутке Х (как разность интегрируемых функций). Интегрируя последнее равенство, получим формулу u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)- v(x)u’(x)dx (формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле).

Т.к. v’(x)dx=dv, u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде udv=uv-vdu.

За u выбирают ту часть подынтегральной функции, которая упрощается дифференцированием, а за dv ту часть, интеграл от которой существует

5.Основные типы интегралов берущихся по частям.

Общие рекомендации: Практика показывает, что большая часть интегралов берущихся по частям может быть выделена в следующие группы:

1.Подынтегральная функция содержит в виде множителя одну из следующих функций: arctgx, arcctgx, arcsinx, arccosx, степени этих функций, а также lnx- их полагают за u, а оставшаяся часть это производные известных функций, т.е. интеграл от оставшейся части подынтегрального выражения существует.

2.Интегралы вида (ax+b)ⁿ sinkx, (ax+b)ⁿ coskx, (ax+b)ⁿ е^кх, где а,b,к=const, n- натуральное число. Эти интегралы берутся n- кратным интегрированием по частям. U=(ax+b)ⁿ 1kn, dv- оставшаяся часть выражения.

3.Интегралы вида: е^хasin(bx)dx, е^axcos(bx)dx, sin(lnx)dx, cos(lnx)dx. Исходный интеграл обозначается за I, берется 2 раза по частям и получаем в правой части выражение, содержащее исходный интеграл I, т.е. мы получаем уравнение относительно исходного интеграла, решаем его относительно I.

4. Существуют интегралы, берущиеся по частям и не относящиеся ни к какой из вышеперечисленных групп.