- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Методы замены переменной
- •4.Метод интегрирования по частям.
- •5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
- •6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- •7.Метод неопределенных коэффициентов.
- •8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
- •9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- •10.Понятие определенного интеграла.
- •11.Основные свойства определенного интеграла.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- •19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •20.Непрерывность функции n переменных.
- •21.Непрерывность сложной функции.
- •22.Частные производные функции n переменных.
- •23.Дифференцируемость функции n переменных.
- •24.Дифференциал функции n переменных.
- •25.Дифференцирование сложной функции.
- •26.Производная по направлению. Градиент.
- •27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- •29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- •30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- •Необходимое условие локального экстремума
- •31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •32.Неявные функции.
- •33.Условный экстремум
- •34.Метод множителей Лагранжа.
- •35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •36Свойства сходящихся числовых рядов.
- •38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •39.Признак сравнения.
- •40.Признак Даламбера.
- •42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •44.Степенные ряды.
- •45.Теорема Абеля.
- •46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- •47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
10.Понятие определенного интеграла.
Определенный интеграл
Def Если существует конечный предел I интегральных сумм при 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается I= =
Def функция f(x) называется интегрируемой на [a,b] если для любой последовательности разбиений {Xk}, у которой соответствующая последовательность интегральных сумм {k} стремится к одному и тому же числу I.
Def Число I называется определенным интегралом от функции f(x) оп отрезку [a,b], если для любого >0 сущесвтует такое >0, что при (т.е. если отрезок [a,b] разбит на части с длинами Xi<) независимо от выбора точек I выполняется неравенство , или же для любого i[Xi-1, Xi]
Интегрируемость функции по Риману: Число I называется пределом интегральных сумм , зависящих от (хк;к) при d0, если для любого положительного числа , найдется соответствующее ему положительное число , большее d, такое что для любого к будет выполняться | (хк;к)-I|<. >0)(d<) k: | (хк;к)-I|< Следует отметить, что существует только один предел при d0
I=
Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если для этой функции на указанном сегменте существует I= при d0
Число I называется определенным интегралом Римана от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается так: I= , где а- нижний предел, b- верхний предел
Следует отметить, что = =
11.Основные свойства определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла:
Интеграл был введен для случая a<b. Обобщим понятие определенного интеграла, на случаи когда a=b, a>b.
1.Если a=b, то по определению на отрезке нулевой длины полагаем, что =0
Если а>b, то по определению =- (4), т.е. когда отрезок [a,b] при a<b пробегает в направлении от b к а, имеем b=X0, а=Xn, Xi=Xi-Xi-1<0
2.Каковы бы ни были числа а, b и с всегда имеет место равенство: = + (здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входящие в доказываемые формулы существуют)
Доказательство: Допустим сначала, что а<c<b, т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], то будем проводить разбиение так, чтобы точка с всегда была бы точкой разбиения [a,b]. Если например с=хm, то можно разбить на две суммы: = = + . Переходя в последнем равенстве к пределу при мы и получим искомое равенство.
Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме
интегралов по его частям.
Доказательство для другого расположения точек a, b, c легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а<b<c, тогда по доказанному, имеем: = + , откуда учитывая (4) получаем = - = + , ч.т.д.
3.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. =к . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a,b] и любого выбора точек I =k
Переходя к пределу при 0 имеем = = =к = к ., ч.т.д.
4.Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a.b] и любого выбора точек I = Так как = и = , то получаем что = =
Замечание: это свойство имеет место для любого конечного числа слагаемых.
[Т] О среднем
Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] то существует т С, принадлежащая этому сегменту, такая что =f(c)(b-a). Эта формула называется формулой среднего значения. Доказательство: Так как f(x) непрерывна на [a,b] то по второй теореме Вейерштрасса, существуют числа m и М такие что f(x)=mf(x)M= f(x). Отсюда находим m(b-a) M(b-a), следовательно, m . Положим, = (mM). Так как заключено между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции f(x) и на [a,b] то по теореме о прохождении функции через любое промежуточное значение, существует точка с[a,b] такая что f(c)=. Поэтому =f(c), а это равносильно искомому равенству. Величина f(c) называется средним значение функции f(x) на отрезке [a,b]. Замечание: теорема о среднем имеет четкий геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x)>=0 равна площади прямоугольника имеющего высоту f(c) и основание b-a.