Математика

1. Промежутки числовой прямой.

Промежуток - множество точек, заключённых между двумя данными, т. е. удовлетворяющих условию вида а < х < b.

a, b € R, a<b… 1. Конечные промежутки: a. Интервал (a,b)={x:a<x<b} b. Отрезок [a,b]={x:a≤x≤b} c. Полуинтервалы [a,b)={x:a≤x<b} 2. Бесконечные промежутки: интервалы: (a,+∞)={x:a<x<+∞}; (-∞, a)={x: -∞<x<a}; (-∞,+∞)={x: -∞<x<+∞}

Пусть ε>0 – некоторое число, множество Оε(а)={x:a- ε<x<a+ ε} ({x:|x-a|< ε}), называется ε-окрестностью точки а. Если из этого интервала удалить точку а, то область будет проколотая ε-окрестность точки а. Определение: пусть ε>0 – некоторое число, множество Oε(a)={x:0<|x-a|< ε} называется проколотой ε-окрестностью точки а.

2. X, Y – произвольные множества. Соответствие, которое для любого x€X соотносит любое y€Y называется отображением множества X в множестве Y. Если XcR, Y=R, то f:x→Y называется функцией X – множество лил область определения функции. F(x) – множество значений ф-ии f. Монотонные функции. Определение: ф-я f(x) называется: 1) Возрастающей на множестве Х, если для любого x1,x2 €X, таких что x1<x2 => f(x1)<f(x2). 2)неубывающей на мне-ве Х, если лдя любого х1, х2: x1<x2 => f(x1)≤f(x2) 3) Убывающая на мн-ве Х, если для любого х1, х2 €Х: x1<x2 => f(x1)>f(x2) 4) Невозрастающая на мне-ве Х, если для любого x1,x2€X: x1<x2 => f(x1)≥f(x2). Функция, обладающая одним из свойств 1-4 называется монотонной.

3. Обратная функция. y=f(x), x€D(f) Для любого X0€D(f) соответствует ед. число y0=f(x0) это число принадлежит E(f). Y0=f(x) где y0€E(f) жто Ур-е может не иметь решений, может име6ть несколько решений, или бесконечно много решений. Если y=f(x), каждое значение y0 принимает только при одном значении x0€D(f) то она называется обратной. Для такой функции Ур-е f(x)=y можно при любом значении y€E(f) однозначно разрешить т.е. для любого y€E(f) соответствует ед. значение X€D(f). Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной функцией f(x) и обозначают f^-1(x) . График y=f^-1(x) симметричен относительно y=x.

4. Числовая последовательность. Функция D(f)=N называется числовой последовательностью. F(n)=an an – это n-ный член последовательности. Если каждому натуральному числу n соответствует число an, то говорят, что задана числовая последовательность an. Предел числовой последовательности: Определение: число а называется пределом числовой последовательности an, если для любого ε>0 существует номер nε такой, что для всех n>nε |an-a|<ε. Если последовательность имеет конечный предел. То она называется сходящейся. Геометрически: точка а является пределом числовой последовательности an, если в любой Oε(a) содержатся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, а вне этой окрестности может содержаться лишь конечное число членов этой последовательности не более чем nε.

5. Ограниченная последовательность имеющая конечный предел. Сходящаяся последовательность ограничена. Док-во: пусть liman=a <=> для любого ε>0 существует nε такой что для любого n>nε |an-a|<ε; a-ε<=an<=a+ε; |an|-|a|<=|an-a|<ε; |an|-|a|<ε; |an|<|a|+ε; e=max(|a|+ε ; |a2|…, |anε|), тогда для любого n |an|<=c , т.е. последовательность ограничена. Обратная теорема не верна.

6. Предел суммы. Если limxn=a, limyn=b, то существое предел (xn+yn}=a+b при n∞ Док-во: существует limXn=a <=> т.ч. для любого ε>0 существует n’ε т.ч. для любого n>n’ε |xn-a|< ε/2…. существует limYn=b<=> т.ч. для любого ε>0 существует n’’ε т.ч. для любого n>n’’ε |yn-a|< ε/2…. Возьмем nε=max(n’ε,n’’ε), тогда n>nε |Xn+Yn-(a+b)|< |Xn-a|+|yn-b|< ε/2+ ε/2= ε. Т.е. для любого ε>0 существует номер nε т.ч. для любого n>n ε |Xn+Yn-(a+b)|<ε т.е существует lim(Xn+Yn)=a+b. Предел произведения. Если существуе предел xn=a, предел Yn=b, то существует предел (Xn*Yn)\a*b. Док-во: |Xn*Yn-a*b|=|Xn*Yn-ayn+ayn-ab|<=|Xn*Yn-ayn|+|ayn-a*b|=|Yn(Xn-a)|+|a(Yn-b)|=|Yn|*|Xn-a|+|a|*|Yn-b| по условию т2 предел Yn=b – ограничена т.е. существует М т.ч. для любого n |yn|<=M и |a|<M. LimXn=a: для любого ε>0 существует n’ε т.ч. для любого n>n’ε |xn-a|< ε/2M. LimYn=b: для любого ε>0 существует n’’ε т.ч. для любого n>n’’ε |Yn-b|< ε/2M.nε=max(n’ε,n’’ε) тогда для любого n>nε |XnYn-ab|=|Yn|*|Xn-a|+|a|*|Yn-b|<Mε/2M+Mε/2M= ε => существует предел Xn*Yn=ab. Если предел Xn=a предел Yn=b (B::/::0) то существует предел Xn/Yn=a/b

7. Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса: Монотонная ограниченная последовательность сходиться. {(1+1/n)^n} эта последовательность возрастает, значит она монотонна. Докажем что она ограниченна. Xn=(1+1/n)^n Yn=(1-1/n)^n – возрастающая (1-1/(n+1))^n>(1-1/n)^n; XnYn=(1+1/n)^n*(1-1/n)^n=(1-1/n^2)^n<1; XnYn<1, значит Xn<1/Yn n>=2 Yn>y2=1/4 n>=3 Xn<1/Yn<4 X1=2 значит снизу ограничена 2 2<Xn<4 значит последовательность ограничена. Значит {1+1/n)^n монотонная огр. Последовательность, т.е. по теореме Вейерштрасса существует предел этой последовательности. Lim((1+1/n)^n)=e иррациональное и трансцендентное число. т.е. не является корнем какого-либо алгебраического выражения.

8. Предел функции в точке. Определение: пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности (.)Х0 за исключением самой (.) Х0. Число А называется пределом f(x) в точке X0, если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого x:0<|x-x0|<δ=>|f(x)-A|<ε Односторонние пределы: Определение: пусть ф-я F(x) определена на (a,b], число А называется пределом f(x) слева в точке Х0€(a,b] если для любого ε>0 существует δ>0 т.ч. для любого x:x0- δ<x<x0 |f(x)-A|< ε; Определение: пусть ф-я f(x) определена на [a,b) А называется пределом ф-ии f(x) справа в точке Х0€[a,b) если для любого ε>0 существует δ>0 т.ч. для любого x:x0<x<x0+ δ |f(x)-A|< ε; Сумма 2-х бесконечно малых ф-й есть б. малая ф-я. Док-во: пусть a(x) и b(x) – б. малые функции при xx0; lima(x)=0 для любого ε>0 существует δ’>0 т.ч. для любого x€O’δ’(x0) |a(x)-0|=|a(x)|<ε/2. lima(x)=0 для любого ε>0 существует δ’’>0 т.ч. для любого x€O’δ’’(x0) |b(x)-0|=|b(x)|<ε/2; пусть δ=min(δ’, δ’’), тогда для любого ε>0 существует δ>0 т.ч. для любого x€O’δ(x0) |a(x)+b(x)|<=|a(x)|+|b(x)|< ε/2+ ε/2=e.

9. Свойства бесконечно малых функций. 1. Сумма 2-х бесконечно малых ф-й есть бесконечно малая ф-я. 2. Произведение б. малой функции на ограниченную есть б. малая. 3. Предел f(x)=A т.т.т. когда {f(x)-A} – б. малая ф-я при xx0. Док-во 2-й: Пусть f(x) ограниченна т.е. существует с такое что |f(x)|<=c для любого x€O’δ1(x0), а a(x) – б. малая ф-я при xx0, т.е. предел a(x)=0, т.е. для любого x€O’δ2(x0) |a(x)|<ε/c δ=min(δ1, δ2) тогда для любого ε>0 существует δ>0 т.ч. для любого x€O’δ(x0) |f(x)*a(x)|=|f(x)|*|a(x)|<c*ε/c=ε т.е. f(x)*a(x) – б. малая ф-я при xx0.

10. Предел суммы, произведения и частного функций. Теорема 1: Пусть существует предел f(x)=A и предел g(x)=b при xx0, тогда 1. Существует предел (λf(x)+γg(x))=λA+γB 2. существует предел (g(x)*f(x)=AB Док-во: limf(x)=a =>f(x)-a=α(x) – б. малая ф-я при xx0 limg(x)=b =>g(x)-b=β(x) – б. малая ф-я при xx0 f(x)=α(x)+a; g(x)=β(x)+b 1. λf(x)+γg(x)= λα(x)+λa+γβ(x)+γb. Λf(x)+γg(x)-λa-γb=λα(x)-γβ(x)=> сущ. Lim(λf(x)+γg(x))=λa+γb – б. малая ф-я. 2. f(x)*g(x)=(α(x)+a)(β(x)+b)=α(x)*β(x)-ab=α(x)*β(x)+a*β(x)+b*α(x) – б. малая при xx0 => сущ. Lim(f(x)*g(x))=ab. Теорема 2: Пусть limf(x) сущ b не=0, тогда сущ lim(1/f(x))=1/limf(x) Док-во: Пусть limf(x)=a нужно доказать, что lim1/f(x)=1/A; 1/f(x)-1/A=(A-f(x))/f(x)*A=1/A*1/f(x)*[A-f(x)] – б малая ф-я при xx0 т.е. lim1/f(x)=1/A. Теорема 3: Если существуют конечные пределы: limf(x), limg(x), причем limg(x)не=0, то существует lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x). Док-во: lim(f(x)/g(x))=lim(f(x)*(1/g(x)))=limf(x)*lim(1/g(x))=limf(x)*(1/lim(g(x))=limf(x)/limg(x).

12. Символ «о»-малое. Определение: пусть ф-ии f(x) и g(x) – определены в некоторой проколотой дельта окрестности точки x0 причем g(x)не=0 в этой окрестности. Если limf(x)/g(x)=0, то говорят, что F(x) есть о-малое от g(x) при xx0 и пишут f(x)=о(g(x)), xx0 Примечание: x0 в этом определении может быть конечной точкой, +∞, -∞. Эквивалентные ф-ии. Определение: Ф-ии f(x) и g(x) называются эквивалентными при xx0, если limf(x)/g(x)=1 (f(x)не=0, g(x)не=0, x€O(x0)) Примечание: вместо limf(x)/g(x)=1 можно рассматривать limg(x)/f(x)=1. lnn<<n^a<<a^n

13. Непрерывные функции. Определение1: ф-я f(x) называется определенная на (a,b) называется непрерывной а точке x€(a,b), если limf(x)=f(x0). Определение2: Пусть f(x) определена в некоторой O(x0), f(x) – непрерывна в точке х0, если для любого ε>0 сущ δ>0 т.ч. для любого X:|x-x0|<δ |f(x)-f(x0)|<ε. Определение3: f(x), x€Oδ(x0) f(x) – непрерывна в точке ч0 если для любого ε>0 сущ δ>0 т.ч. для всех x€Oδ(x0) f(x)€Oε(f(x)). Теорема1: Если ф-ии f(x) и g(x) – непрерывны в точке x0, то ф-ии αf(x)+βg(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) где αβ€R g(x)не=0 – непрерывна в точке x0. Док-во: из определения непрерывности и свойств предела ф-ии.

14. Теорема о непрерывности сложной ф-ии (суперпозиции). Y=f(x) z=F(x) пусть область значений f совпадает с областью определения F ф-ю z=F(f(x)), x€D(f) называют сложной ф-ей или суперпозицией функции F и f. f – внутренняя ф-я F – внешняя. Теорема: Пусть ф-я f(u) непрерывна в точке u=a а ф-я u=φ(x) непрерывна в точке x=a и пусть φ(a)=A тогда сложная ф-я F(x)=f(φ(x)) – непрерывна в точке х=а. Док-во: ф-я f(x) – непрерывна а точке А, т.е. на определена в некоторой окрестности точки А. limF(x)=limf(φ(x))=kimf(u)=f(A)=f(φ(a))=F(a). Теорема1: пусть ф-я f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a,b], тогда и обратная ф=я f-1 определена и непрерывна на отрезке с концами f(a) и f(b). Теорема2: Пусть ф-я f(x) определена , строго монотонна и непрерывна на интервале (a,b) конечно или бесконечно limf(x)=cпри xa+0 limf(x)=d при xb-0. Тогда обратная ф-я f-1 – однозначно, строго монотонна и непрерывна на интервале с концами c и d.

15. Теорема1: Всякий полином непрерывен на всей числовой прямой. Док-во: ф-я вида P(x)=a0xⁿ+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an – называется полиномом ( или многочленом) n-ной степени. Y=an – непрерывна как константа. Y=a(n-1)x – непрерывна на произведение 2-х непрерывных функций. Y=(n-2)x^2=a(n-2)xx – произведение непр. функций……….. y=a0x^n=a0xx^(n-1) – непрерывна как пр-е непр ф-й. Следовательно сумма P(x) – непрерывна как сумма непрерывных ф-й. Теорема2: рациональная ф-я y=p(x)/q(x)=(a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an)/(b0x^n+b1x^(n-1)+…+b(n-1)x+an) непрерывна всюду, за исключением тех точек, в которых значение q(x)=0.

16. Непрерывность элементарных ф-й. ф-ии: y=c – const; x^α; a^x(a>0,aне=1); loga(x)(a>0,aне=1); sinx; cosx; tgx; ctgx; arcsinx; arcosx; arctgx; arcctgx – основные элементарные ф-ии. Функция называется элементарной, если она может быть получена с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями. Пример e^(-1/x)… Теорема: Любая элементарная ф-я, определенная в окр. Некоторой точки непрерывна в этой точке. Y=sinx – непрерывна в любой точке x€R dy=sinx-sinx0 dy=2sin((x-x0)/2)*cos((x-x0)/2) |dy|=2|sin((x-x0)/2)*| cos((x-x0)/2)| <=2|sin((x-x0)/2)|<=2(|x-x0|/2)=|x-x0|=|dx|. Т.е при dx0 dy0 => sinx – непрерывна на всей числовой прямой.

17. Точки разрыва. Определение: Пусть ф-я f(x) – ограниченна в проколотой окр. Точки х0, то х0- точка разрыва ф-ии f(x) Определение: Пусть ф-я f(x) – определена в пр. окр. Точки х0, тогда точка х0 – 1) называется точкой устранимого разрыва f(x), есл сущ. Limf(x)=b при xx0, но либо f(x) неопределенна в точке х0 либо f(x0)не=b. Например: y=sinx/x неопределенна в точке х=0. 2) Точкой разрыва 2-го рода, если сущ-ют конечные пределы слева и справа f(x) но они не равны. 3) Точкой разрыва 2-го рода, если в точке х0 не существует по крайней мере один из односторонних пределов или хотябы один из односторонних пределов. Разрыв называется бесконечным.

19. Теорема о промежуточных значениях Определение: множество отрезков {[an,bn]}от n=1 до ∞ называется системой вложенных отрезков, если отрезок [a(n+1),b(n+1)]C(an,bn] для любого n€N. Лемма: Для всякой системы вложенных отрезков, длины которыз 0. сущ. Единственная точка ξ € всем отрезкам данной системы. Определение: ф-я называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. Теорема: (о промежуточных значениях): Если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [a,b] f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа С, заключенного между А и В сущ. Точка ξ € [a,b] f(ξ)=C. Док-во: f(a)=A f(b)=B, пусто A<B разделим отрезок [a,b] точкой [(a+b)/2]. Если f((a+b/2)=c, то ξ=(a+b)/2, если f((a+b)/2)≠С, тогда либо f((a+b)/2)<C либо f((a+b)/2)>C. В первом случае выбираем [(a+b)/2,b] во втором [a,(a+b)/2]. Выбранный отрезок обозначим [a1,b1] |a1-b1|=(a-b)/2 – длина [a1,b1] f(a1)<C<f(b1) (по выбору [a1,b1]). Разделим отрезок [a1,b1] пополам точкой (a1+b1)/2 . Если f((a1+b1)/2)=С, то ξ= (a1+b1)/2, если f((a1+b1)/2)≠С, тогда либо f((a1+b1)/2)<C либо f((a1+b1)/2)>C. Выберем из этих отрезков тот, на левом конце которого значение ф-ии <C , а на правом >C. Обозначим этот отрезок [a2,b2]. F(a2)<c<f(b2) b2-a2=(b-a)/2^2 и т.д. … [an,bn] делим его пополам точкой (an+bn)/2. Либо f((an+bn)/2)=C тогда ξ=(an+bn)/2, либо f((a+b)/2)≠C тогда [a(n+1),b(n+1)] – отрезок, для которого f(a(n+1))<C<f(b(n+1)), причем длина этого отрезка = (b-a)/(2^(n+1)). Таким образом, мы либо через конечное число шагов найдем такую среднюю точку ξ, что f(ξ)=C, либо получим такую систему вложенных отрезков что длины этих отрезков bn-an=(b-a)/2^n 0 при x∞. По лемме существует единственная точка принадлежащая всем отрезкам этой системы. Точка ξ - единственная точка € всем отрезкам системы. Тогда liman=limbn=ξ при x∞. в силу непрерывности ф-ии limf(an)=limf(bn)=f(ξ), но т.к. f(an)<C<f(bn), получаем, что limf(an)<=C<=fbn) => мы получаем f(ξ)<=C<=f(ξ) => f(ξ)=C. Следствие: Если ф-я непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значение разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка в которой ф-я равна 0.

20. Теоремы Вейерштрасса Первая теорема: Всякая непрерывная на отрезке ф-я ограничена на этом отрезке. Ф-я непрерывная на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке (a,b) в точке а – непрерывна справа, а в точке b – слева. Теорема не верна для промежутков другого типа. Вторая теорема: Всякая непрерывная на отрезке ф-я имеет на том отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение. Ф-я непрерывна не на отрезке, а на промежутке другого типа, и даже кроме того ограниченна на нем, вообще говоря не имеет наибольшего и наименьшего значений.

25. Определение производной. Определение: Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, и пусть х – некоторая точка этой окрестности х≠х0, если отношение (f(x)-f(x0))/(x-x0) имеет предел при xx0 то этот предел называется производной ф-ии f(x) в точке x0 и обозначается f’(x0). Операция вычисления производной называется дифференцированием. Физический смысл – скорость изменения переменной y относительно x в точке х0. Геометрический смысл – это тангенс угла наклона.

26. Определение касательной к кривой. Касательной к кривой L в точке М0 называется прямая, которая представляет собой предельное положение секущей ММ0 ( если оно сущ.) при стремлении по кривой точки М к точке М0. Не всякая ф-я имеет касательную в каждой точке своего графика. Уравнение секущей ММ0 – это уравнение прямой, проходящей через 2-е точки. М(х0+dx;f(x0+dx)) M0(x0;f(x0)) y-f(x0)= (f(x0+dx)-f(x0)/dx)*(x-x0). Если ф-я y=f(x) дифференцируема в точке х0, то предельное положение секущей ММ0 при стремлении точки М к точке М0 существует и Ур-е касательной к графику y=f(x) в точке М0 имеет вид y=f(x0)+f’(x0)(x-x0).

27. Теорема о производной линейной комбинации. Теорема: Если ф-ии y=f1(x), y=f2(x) заданы в окрестности точки х0, а в самой точке имеют производную, то ф-ии λ1f1(x)+λ2f2(x); f1(x)*f2(x) – также имеют производную. λ1f1(x)+λ2f2(x)= λ1f’1(x)+λ2f’2(x); f1(x)*f2(x)=f’1(x)f2(x)+f1(x)f’2(x) Док-во: В силу условия теоремы существуют конечные пределы df1/dx=f’1; df2/dx=f’2 при dx0.

28. Производная частного. Теорема: Если ф-ии f1(x) and f2(x) заданы в окрестности точки х0, а в самой точке имеет производную, то ф-я f1(x)/f2(x) тоже имеет производную при f2(x)≠0 (f1(x)/f2(x))’=(f’1(x)f2(x)-f1(x)f’2(x))/f2^2(x) Док-во: в силу условия теоремы существуют два предела df1/dx=f’1; df2/dx=f’2 при dx0. y=f1/f2 f2(x0)≠0 dy=(f1+df’1)/(f’2+df2)-f1/f2=(df1f2-df2f1)/(f2+df2)f2 lim(dy/dx)=(f’1f2-f’2f1)/f2^2.

29. Производная сложной функции. Теорема: Если ф-я y=f(x) имеет производную в точке х0, а ф-я z=g(y) имеет производную в точке y0=f(x0), то сложная функция z=F(x)=y(f(x)) имеет в точке х0, производную, причем F’(x0)=g’(y0)f(x0) Док-во: dx=x-x0, dy=y-y0, dz=g(y)-g(y0) g(y) – дифференциал в точке y0 => dx*g’(y0)*dy+o(dy). …

30. Производные элементарных функций

Пусть f(x) определена непрерывна и строго монтона в О(х0), имеет в точке x0 производную не равную 0.Тогда обратная ф-я f'(у) имеет проивзодную в точке у0=f(x0) док-во f(x) строго монотона и непрерывна в точке x0 => f'(y) строго монотона и непрерывна в точке у0 дельта(х)=х-х0 {для х и у}для f(x):lim дельта y=0при дельта х -> 0(непрерыв) f'(y):lim дельта x = 0 при дельта y -> 0;дельта y и x не = 0 дельта(у)=у-у0 dx/dy= lim д(x)/д(y)при дy(x)->0 = lim 1/д(y)/д(x) при ду(х)->0=1/dy/dx ! У=f(x) x=f'(y) df'(y0)/dy=1/df(x)/f(x) Примеры 1.y=arcsinx xе[-1;1] yе[-p/2;p/2] x=siny (arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/sqrt(1-sin^2y)=1/sqrt(1-x^2) 2.y=arccosx xе[-1;1] ye[0;1] x=cosy (arccosx)'= -(1/(siny))=-1/sqrt(1-cosy)=-1/sqrt(1-^x2)

31. Производные элементарных функций. 1)Y=sinx dy=sin(x+dx)-sinx=2sin(dx/2)cos(x+dx/2) lim(dy/dx)=2lim(sindx/2cos(x+dx/2))/dx=2lim((dx/2)cos(x+dx/2)/dx)=cosx (sinx)’=cosx 2)y=cosx dy=cos(x+dx)-cosx=-2sin(x+dx/2)sin(dx/2) lim(dx/dx)=-2lim(sin(x+dx/2)sin(dx/2)/2)=-sinx (cosx)’=-sinx

35. Теорема: Если ф-я дифференцируема в точке х0 т.е. dy=f’(x0)dx+o(dx), dx0 limdx=lim(f’(x0)dx+o(x0))=0 т.е. f(x) непрерывна в точке х0 limdy=0. Обратное утверждение не верно, не всегда непр. Ф-я дифференцируема в этой точке.

36. Дифференцируемая функция Определение: Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, dx=x-x0, ф-я f(x) называется дифференцируемой ф-ей в точке х0, если dy=f(x0+dx)-f(x0) представлено в виде dy=Adx+o(dx), dx0 . Дифференциал функции в точке: Если ф-я f(x) дифференцируема в точке х0, то ее приращение может быть представлено в видt dy=f’(x0)dx+o(dx) при dx0. Определение: линейная (относительно dx) часть приращения f’(x0)dx называется дифференциалом ф-ии f(x) вточке х0 и обозначается dy или df(x0)

37. Линеаризация функции. f(x) – дифференцируема в точке х0, тогда f(x)-f(x0)=f’(x-x0)+o((x-x0)), xx0 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+o(x-x0), xx0 ассимптотическая формула линеаризации. F(x)≈f(x0)+f’(x0)(x-x0), x≈x0 – приближенная формула линеаризации.

38. Правило Лопиталя Теорема: [0/0] Пусть ф-ии f(x) и g(x): 1) дифференцируемы на интервале (a,b) за исключением быть может точки х0 причем g(x)≠0 g’(x)≠0 при x≠x0 x€(a,b) 2) limf(x)=limg(x)=0 при xx0 3) Существует (конечный или бесконечный) предел limf’(x)/g’(x) тогда существует limf(x)/g(x)=limf’(x)/g’(x) Примечание: Если limf’(x)/g’(x)=[0/0], a f’(x) и g’(x) удовлетворяют условию теоремы, то limf(x)/g(x)=limf’(x)/g’(x)= limf’’(x)/g’’(x) и т.д. Пример: lim((sinx-e^x+1)/x^2)… Теорема2: [∞/∞] Пусть ф-ии f(x) и g(x): 1) дифференцируемы на интервале (a,b) за исключением быть может точки х0 причем g(x)≠0 g’(x)≠0 при x≠x0 x€(a,b) 2) limf(x)=limg(x)=+∞ или -∞ при xx0 3) Существует (конечный или бесконечный) предел limf’(x)/g’(x) тогда существует limf(x)/g(x)=limf’(x)/g’(x) пример: lim(lnx/x^α)…

39. Вычисление пределов с помощью линеаризации. Рассмотрим lim(f(x)/g(x))=[0/0] limf(x)=limg(x)=0 пусть ф-ии f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х0, тогда по формуле линеаризации мы получим f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+o(x-x0) g(x)=g(x0)+g’(x0)(x-x0)+o(x-x0) lim---=limf’((x0)+o(1)/g’(x0)+o(1))=f’(x)/g’(x) пример: lim((2^x-x^2)/x-2)…

40. Определение локального экстремума. Определение: ф-я y=f(x) задана на интервале (a,b) имеющая в точке x0€(a,b) 1)локальный максимум, если существует O(x0)<(a,b) f(x)<=f(x0) для любого x€O(x0) (< для строгого локального максимума) 2) локальный минимум, если существует O(x0): f(x)>=f(x0) для любого х€O(x0) (для строгого >) Определение: локальный максимум или минимум называется локальным экстремумом если в точке х0 f(x) имеет лок максимум то f(x)-f(x0)<=0 для любого х€О(х0), Поэтому говорят, что ф-я f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум если существует О(х0) т.ч. f(x)-f(x0) не имеет знака для х€О(х0). Теорема Ферма: если ф-я f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум и если f’(x0) сущ-ет, то f’(x0)=0. Док-во: Пусть ф-я f(x); x€(a,b) x0€(a,b) и f(x) в точке х0 имеет локальный минимум т.е. f(x)>=f(x0) для любого x€O(x0)<(a,b) Возьмем точку x€O(x0), x<x0, тогда (f(x)-f(x0))/x-x0<=0; x-x0:lim((f(x)-f(x0))/x-x0)=f’(x0)<=0 при xx0-0; x€O(x0), x>x0, тогда (f(x)-f(x0))/x-x)>=0; x-x0: lim((f(x)-f(x0))/x-x0)=f’(x0)>=0 Т.к. по условию теоремы сущ-ет производная f’(x0)=lim((f(x)-f(x0))/x-x0) lim((f(x)-f(x0))/x-x0) при xx0-0=lim((f(x)-f(x0))/x-x0) при xx0+0. Обратное утверждение не верно, если f’(x0)=0 то f(x) может и не иметь в точке локального экстремума.

42. Теорема Ролля. Теорема: Пусть f(x) 1) непрерывна на [a,b] 2)Имеет в каждой точке (a,b) производную f’(x) 3) f(a)=f(b), тогда существует точка ξ€(a,b) такая, что аэ(ξ)=0 Док-во: f(x) – непрерывна на [a,b] => по 2-й теореме Вейерштрасса она достигает на [a,b] наибольшего и наименьшего значения т.е. m<=f(x)<=M для любого x€[a,b] 1) если m=M, то f(x) – const и пр-я f’(x)≡0 для любого x€[a,b]. В качестве ξ можно выбрать любую точку €(a,b) 2) Если m≠M то чтобы одно из значений m или М достягали не на конце отрезка. Пусть этим значением будет М, тогда существует точка ξ€(a,b) т.ч. f(ξ)=M в этом случае из Т. Ферма => что f’(ξ)=0. Примечание: все условия теоремы Ролля существенны.

43. Теорема Лагранжа. Теорема: пусть f(x) 1) Непрерывна на [a,b] 2) имеет производную в каждой точке интервала (a,b), тогда существует точка ξ такая, что f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) Док-во: рассмотрим вспомогательную ф-ю F(x)=f(x)-λx, λ-число. Выберем λ так, что F(a)=F(b). Т.е f(a)-λa=f(b)-λb λ=(f(b)-f(a))/(b-a) для ф-ии F(x) выполнены все условия теоремы роля: 1) F(x)€C[a,b] 2) имеет производную в каждой точке (a,b) 3) F(a)=F(b) => сущ-ет точка ξ€(a,b) такая, что f(ξ)=0 F(x)=f’(x)-λx f’(ξ)-λ=0 f’(ξ)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 отсюда f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) – формула Лагранжа формула конечных приращений.

44. Достаточные условия возрастания и убывания ф-ии. Теорема: Пусть f(x) дифференцируема на (a,b) тогда если f’(x)>0 для любого x€(a.b) то f(x) строго возрастает на (a,b) если же f’(x)<- для любого x€(a,b), то f(x) строго убывает на (a,b) Док-во: a<x1<x2<b По теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1) ξ€(x1,x2). X2-x1>0 => если f’(ξ)>0 то f(x2)-f(x1)>0 и f(x2)>f(x1) т.е. f(x) строго возрастает на (a,b) если f’(ξ)<0 то f(x2)-f(x1)<0, f(x2)<f(x1) т.е. f(x) строго убывает на (a,b) Примечание: аналогично можно доказать теорему: если f(x) дифференцируема на (a,b) и f’(x)>=0 для любого х€(a,b), то f(x) не убывает на (a,b). Если f’(x)<=0 для любого х€(a.b), то f(x) не возрастает на (a.b).

45. Достаточные условия экстремума. Пусть ф-я f(x) дифференцируема на (a,b) всюду, за исключение быть может точки х0 в которой она является при этом непрерывной. Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 является точкой строго локального экстремума, при этом, если f’(x)>0 для х0-δ<x<x0 и f’(x)<0 для x0<x<x0+δ, то точка х0 является точкой строгого локального максимума, а если для f’(x)<0 для x0-δ<x<x0 и f’(x)>0 для x0<x<x+δ то точка х0, является точкой строгого локального минимума. Док-во: 1) Рассмотрим 1-й случай f’(x)>0 для х0-δ<x<x0 и f’(x)<0 для x0<x<x0+δ. По теореме Лагранжа f(x)-f(x0)=f’(ξ)(x2-x1) где точка ξ лежит между х и х0 . Если x<x0 то x-x0<0 f’(ξ)>0; Если x>x0 то x-x0>0 f’(ξ)<0 значит f(x)-f(x0)<0, f(x)<f(x0) т.е точка х0 точка строгого локального максимума 2) для минимума док-во аналогично.

46. Многочлен Тейлора. Y=f(x) точка х0 даны f(x0), f’(x0), f’’(x0), … , f(n)(x0) 1. Построим многочлен Tn(x) степени n, удовлетворяющий условию: Tn(x0)=f(x0), T’n(x0)=f’(x0), … , T⁽ⁿ⁾n(x0)=f⁽ⁿ⁾ (x0) Оценим остаток Rn(x)=f(x)-Tn(x).

47. Теорема Тейлора-Пеано. Пусть выполняются условия теоремы Тейлора-Лагранжа Rn(x)=((f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)!)*(x-x0)ⁿ⁺¹ Rn(x)/(x-x0)^(n+1)=fⁿ⁺¹(ξ)/(n+1)! F(n+1)=(f(n))’ По формуле Лагранжа f(n+1)(ξ)=(f(n)(x)-f(n)(x0))/(n+1)!(x-x0); Rn(x)/(x-x0)^(n+1)=(f(n)(x)-f(n)(x0))/(n+1)(x-x0); lim(Rn(x)/(x-x0)^n)=lim((f(n)(x)-f(n)(x0))/(n+1)!)=0 =>Rn(x)=o(x-x0)^n), xx0. остаточный член формулы Лагранжа Формула Тейлора-Пеано: f(x)=

48. 1) f(x)=e^x; x0=0, ; ; ; e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!+o(x^n), x0. 2) f(x)=ln(1+x) f(0)=0 f’(x)=1/(1+x); f’’(x)=-1/(1+x)^2 f’’’(x)=-1*(-2)/(1+x)^3; f’’’’(x)=(-1)^n-1(x-1)!/(x+1)^n; f’(0)=(-1)^n(n-1)!... ln(1+x)=0+1/1!*1x+1/2!*(-1)^2*x^2+1/3!*2x^3+…++…=

49. 1)(x)=sinx, x0=0; sinx⁽ⁿ⁾=sin(x+n-пи/2); n=2k; sinx^(2k)=0 , k=1,2…; n=2k-1 sinx^(2k-1)=-1; 2) cosx, x0 cosx⁽ⁿ⁾=sin(x+n*пи/2); cos(0)=1; n=2k; cos(x+пиk);

50. Теорема Тейлора-Лагранжа. Теорема: Пусть f(x) – непрерывна на некотором интервале, содержащем точки x и x0. Пусть f(x) имеет во всех внутренних точках этого интервала непрерывную производную f⁽ⁿ⁺¹⁾(x). Положим f(x)=f(x0)+f’(x0)/1!+f⁽ⁿ⁾(x0)/n!*(x-x0)ⁿ+Rn(x). Тогда сущ-ет число ξ заключенное между х и х0 такое, что Rn(x)=.

51. Погрешность линейного приближения. R(x) – ошибка, допускаемая при вычислении значения f(x) с помощью формулы линеаризации f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+R(x); R(x)=f(x)-f’(x0)-f’(x0)(x-x0); R(x)/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)-f’(x0); lim(R(x)/(x-x0))=lim((f(x)-f(x0))/(x-x0)-f’(x0))=0 R(x)=o(x-x0), xx0. Предположим, что ф-я f(x) имеет непрерывную вторую производную. (*) f(x)=f’(x0)+f’(x0)(x-x0)+R(x) x=x0 R(x)=0; Продифференцируем (*): (**) f’(x)=f’(x0)+R(x) x=x0; => R’(x0)=0; продифференцируем (**) f’’(x)=R’’(x) x=x0, f’’(x0)=R’’(x); f(t)=R(t); g(t)=(t-t0)^2, x0=a, x=b. τ – число заключенное между x и x0. По следствию из теоремы Коши: ξ – число заключенное между τ и х0. R(x)=f’’(ξ)/2*(x-x0); |R(x)|<=M/2*|x-x0|; |f’’(ξ)|<=M, ξ€ отрезку с концами x и x0.

55. Достаточное условие экстремума с использованием второй производной. Теорема: Пусть f’(x0)=0, тогда если f’’(x0)<0, то х0 точка локального максимума, если f’’(x0)>0 то х0 точка локального максимума. Док-во: f’’(x0)=(f’(x0))’=lim((f’’(x)-f’(x0))/(x-x0))=lim(f’(x)/(x-x0)) при xx0. Пусть f’’(x0)>0, тогда f’’(x0)=lim(f’(x)/(x-x0))>0 сущ-ет O(x0) в которой f’(x)/(x-x0)>0 для любого x€o(x0), значит f’(x)<0 для x<x0 и f’(x)>0 если x>x0. значит x0 – точка локального минимума, для случая f’’(x0)<0 аналогично.

56. Выпуклости. Пусть f(x) определена на (a,b) х€(a,b) Если все точки графика ф-ии на интервале (a,b) за исключением точки х0, f(x0), лежит выше касательной, то ф-я f(x) называется выпуклой вниз на этом интервале. Если все точки … кроме х0, f(x0), лежат ниже касательной, то ф-я называется выпуклой вверх. Достаточное условие. Теорема: Пусть f(x) дважды дифференцируема на интервале (a,b), тогда если f’(x)<0 на (a,b) то f(x) – выпукла вверх на интервале (a,b) если f’’(x)>0, на (a,b), то f(x)- выпукла вниз на (a,b). Док-во: Ур-е касательной. Y=f’(x0)(x-x0)+f(x0); f(x)-L(x)-f(x0)+f’(x0)(x-x0)=[по теореме Лагранжа]= f’(ξ)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(f’(ξ)-f’(x0))(x-x0)=[по теореме Лагранжа]=f’’(τ)(ξ-x0)(x-x0) где ξ лежит между х и х0 а τ лежит между ξ и х0. f(x)-L(x)=f’’(τ)(x-x0)(ξ-x0). Знак f(x)-L(x) определена знаком второй производной если f’’(x0)<0, то f(x)-L(x)<0, f(x) выпукла вверх. Если f’’(x)>0, то f(x)-L(x)>0, f(x) выпукла вниз.

57. Точки перегиба. Пусть f(x) определена в проколотой окрестности точки х0. Если на одном из интервалов (х0-х;х0), (х0;х0-γ) f(x) выпукла вниз, а на другом вверх, то говорят, что при переходе через точку х0 ф-я f(x) меняет направление выпуклости. Определение: Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и непрерывна в точке х0, имеет в точке х0 конечную или бесконечную производную, тогда, если f(x) при переходе через точку х0 меняет направление выпуклости, то х0 – точка перегиба f(x) Если х0 – точка перегиба графика ф-яя f(x) , то в этой точке график ф-ии переходит с одной стороны касательной на другую. Теорема: (необходимое условие перегиба) Пусть f(x) дважды дифференцируема на (a,b), тогда, если x0 – точка перегиба, то f’’(x0)=0. Док-во: Если бы f’’(x0)<0 (c-o f’’(x0)>0), то в силу непрерывности второй производной нашлась бы окрестность точки х0, в которой f’’(x0)<0 (c-o f’’(x0)>0 и значит f(x) была бы на этом интервале выпукла вверх (с-о вниз) а это противоречит тому, что x0 – точка перегиба. Теорема(достаточное условие перегиба) Пусть f(x) – дифференцируема в точке х0 и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки х0 и ее вторая производная меняет знак при переходе через точку х0, тогда х0 – точка перегиба. Теорема: Пусть f’’(x0)=0 а f’’’(x0)≠0. Тогда х0 – точка перегиба f(x).

58. Асимптоты. Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика ф-ии f(x), если хотя бы один из пределов limf(x) xa-0, limf(x) xa+0 = +∞ (-∞) Определение: прямая y=kx+b – правая асимптота ф-ии f(x), если f(x)=kx+b+α(x), x­­­­­­+∞, где limα(x)=0 x+∞, т.е. α(x)- б. малая ф-я. Аналогично y=kx+b левая асимптота если f(x)=kx+b+α(x) при x-∞, где α(х) – б. малая. Теорема: Для того, чтобы график ф-ии y=f(x) имел правую (левую) асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы сущ-ли конечные пределы limf(x)/x=k при x+∞ (x-∞) lim(f(x)-kx)=b при x+∞ (x-∞), тогда y=kx+b – правая (левая) асимптота. Док-во: <= Пусть y=kx+b – правая асимптота, тогда f(x)=kx+b+α(x) где limα(x)=0 при x+∞ f(x)/x=k+b/x+α(x)/x limf(x)/x=k при x+∞ f(x)-kx=b+α(x) lim(f(x)-kx)=b… => Пусть сущ-ют пределы lim(f(x)/x)=k и lim(f(x)-kx)=b при x+∞ то из сущ-я второго предела => что f(x)-kx=b+α(x), x->+∞, f(x)=kx+b+α(x), x+∞.