27.Частные производные высших порядков функции n переменных.

Частные производные высших порядков.

Рассмотрим функцию u=f(x,y,z) вычислим частную производную

Пусть все частные производные существуют в аждой точке множества {M}=D(f) Поставим вопрсо о нахождении частных производных по всем переменным по фукнции :

Частная производная взятая от по переменной Хк называется частной производной второго порядка и обозначается , если I=k, то она обозначается как

Смешанные частные производные второго порядка для непрерывной функции равны.

Аналогично, равные смешанные частные производные 3, 4 и т.д.

28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.

Определение дифференциала

u=f(x1,x2,…,xn) y=f(x)

dy=f’(x)dx

d²y=(dy)

Значение дифференциала  взятого от дифференциала первого порядка du в предположении, что х1=dx1…xn=dxn. Называется вторым дифференциалом фукнции в данной точке М(x1,x2,…xn), а вычисляется по формуле

D²u=

+…+

29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.

Рассмотрим функцию специального вида. Квадратичная форма:

Функция Ф(t1,t2,…,tk)= называется квадратичной формой, где Аik коэффициенты квадратичной формы, t1,t2,…,tn- переменные квадратичные формы, d²u квадратичная форма относительно dx1, ….,dxn c коэффициентом Aik= . Если Aik=Aki, то квадратичная форма называется симметричной. Данной квадратичной форме ставится в соответствие матрица коэффициентов квадратичной формы.

Матрицей А размера mXn называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк и n столбцов.

Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов.

Симметричной: Aik=Aki

Определителем матрицы называется число характеризующее матрицу detA

Существуют способы вычисления det:

Минор- некоторый фрагмент матрицы.

Главными минормаи матрицы А называются следующие определители:

А1=А1.1

А2=а1.1*А2.2-А2.1*А1.2

А3=А1.1*А2.2*А3.3+А2.1*А2.2*А1.3+А3.1.*А2.2*А1.3-А3.2.А2.3А1.1-А2.1А12А33

Аm=detA

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любых значений t1,t2,…,tn одновременно не равных 0 она принимает строго положительные значения.

Квадратичная форма называется отрицательно определенной если для любых значений неравенств t1,t2,…tn она принимает строго отрицательные значения.

Квадратичная форма называется знакопеременной если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения при разлиынх наборах t1,t2,…tn

Критерий Сильвестра знакопеременной квадратичной формы:

1.Для того, чтобы квадратичная форма или матрица была + определнной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительными.

2.Для того чтобы квадратичная форма или мтарица была отрицательно определнной необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем первый был отрицательный.

Замечание: если хоть одно из условий не выполняется, то форма знакопеременная