3.2. Частные производные 2-го и высших порядков.

Частные производные являются функциями тех же аргументов, поэтому можно находить частные производные от них. Эти производные называются частными производными 2-го порядка от исходной функции.

Пример 2. Пусть u есть функция из примера 1, т.е. и = х²у + 2z. В примере 1 уже были найдены частные производные: u/х = 2ху; ди/ду = х²; u/z = 2. Найдем теперь частные производные 2-го порядка:

u''_xx= (2ху)'_x = 2y; u"_iy = (2xy)'_y = 2х; u"_z = (2ху)'_z = 0;

u"_уx = (x)'_х= 2; u"_yy = (x²)'_y = 0; u''_yz = (x²)'_z = 0;

u''_zx = (2)'_x; u''_zy = (2)'_y; = 0; u''_zz = (2)''_z = 0.

Производные, взятые последовательно по разным производным, «называются смешанными. Как видно, смешанные производные u"_xy = u''_yx = 2x; u''_xz = u''_zx = 0; u''_yz = u''_zy = 0.

Это не случайно, смешанные производные действительно равны при некоторых условиях, налагаемых на функцию. Обычно для функций, используемых в экономике, эти условия выполняются.

Все основные правила нахождения производных 1-го и высших порядков для функции одной переменной остаются в силе и для нахождения частных производных функции многих переменных — например, правило нахождения производной сложной функции. Напомним его на примере.

Пример 3. Пусть u = (2х + y³)².

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

u'_х = 2(2х + y³)2 = 4(2х + у³) = 8х + 4y³;

u'_y = 2(2х +у³)3у² = 12ху² + 6y⁵;

u"_xx = (8х + 4y³)'_x = 8;

u"_xy = (8х + 4у³)'_y = 12у²;

u"_yx = (12хy² + 6y⁵)'_y = 12у²;

u"_yy = (12ху² + 6y⁵)'_yy = 24хy + 30y⁴ и т.д.

Другим примером может быть правило нахождения производной функции с параметром. Пусть функция u = f(x, у, z), причем каждая из переменных х, у, z в свою очередь есть функция от переменной t: x = a(t), у = b(t), z = c(t). Подставив выражения х, у, z через t в функцию f убедимся, что u есть сложная функция от t. и = f(a(t), b(t), c(t)).

Как найти производную u'_t? Конечно, ее можно найти по правилам нахождения производной функции одной переменной. Но можно доказать, что u't = u'_xх'_t + u'_yу'_t + u'_zz'_t (при некоторых условиях на рассматриваемые функции). Конечно, надо видеть, что u'_х, u'_y, u'_z  это частные производные функции u по своим переменным х, y, z, a x'_t, y'_t, z'_t, — это обычные производные функций х = а(t), y = b(t), z = c(t) по переменной.

Пример 4. Пусть и = ху² и х = t, y = t, тогда u = t³ и u'_t = Зt². С другой стороны, используя частные производные, получим: u'_t = u'_xх' + u'_yу' = у²1 + 2ху1 = t² + 2t² = Зt².

Иногда функция многих переменных задается неявно, путем какого-нибудь равенства  формулы со многими переменными. Например, пусть F(x, у, z) = 0  выражение с тремя переменными, такое, что для всяких х, у найдется только одно такое z, что выполняется условие F(x, у, z) = 0. Следовательно, равенство F(x, у, z) = 0 определяет z как функцию от х, у, т.е. z есть функция двух переменных. Нахождение частных производных для такой функции покажем на примере.

Пример 5. Пусть х²у + z = 0. Чтобы найти частную производную u/х, продифференцируем равенство по х, имея в виду, что у постоянно и z зависит от х. Получаем: 2ху + z/х = 0, следовательно, z/х = 2ху.

В данном случае этот результат легко проверить. Действительно, z легко выразить в явном виде как функцию х, у: z = -х²у. Значит, z/х = -2ху.