8.3. Числовой пример

Решим теперь задачу 2 при заданных конкретных условиях.

Задача. 3. Автомашина эксплуатируется в течение шести лет. В начале каждого года может быть принято решение о замене машины новой. Стоимость новой машины на k-м году эксплуатации составляет p_k = 5000 + 500(k1) рублей. После t лет эксплуатации машину на k-м году можно продать за (t) = 2^(-t)p_k рублей. Стоимость содержания машины в течение k-го года составляет r_k(t) = 0,lp_k (t+l) рублей.

Найти оптимальный способ эксплуатации машины: когда нужно заменить машину новой, чтобы суммарные затраты (с учетом затрат на покупку новой машины в начале срока эксплуатации и компенсации за счет заключительной продажи) были минимальны.

Процесс эксплуатации машины является шестишаговым. Состояние _k системы в начале k-го шага характеризуется одним параметром t  возрастом машины. Уравнение состояния совпадает с (8.1). Управление на каждом шаге состоит в выборе одного из двух решений: и^с — эксплуатировать старую машину; и³ — продать старую машину, купить новую (замена).

Модель ДП задачи совпадает с моделью задачи 2. Основные функциональные уравнения, соответствующие уравнениям (4.7) и (4.8), имеют вид

(k = 1, 2, 3, 4, 5);

Запишем последнее уравнение, учитывая заданные в условии функции p_k. Условная оптимизация на 6-м шаге сводится к оптимизации по уравнению

для всех 0t5. Оптимизацию проведем в таблице. 1.

Таблица 1

t	750(t+l)80002-(t+l)	4250-75002-t	Z*6(t)	u*6(t)
0	7504000 = -3250	42507500 = -3250	-3250	uc (uз)
1	1500  2000 = -500	42503750 = 500	-500	uc
2	2250  1000 = 1250	4250 1875 = 2375	1250	uc
3	3000500 = 2500	4250  937,5=3312,5	2500	uc
4	3750250 = 3500	4250  468,8=3781,2	3500	uс
5	4500125 = 4375	4250  234,4 = 4015,6	4015,6	uз

Условная оптимизация на 51-м шагах приведена в таблице 2 согласно уравнениям

В 5-м и 8-м столбцах табл. 2 помещены значения

Z_k(t, u^c) = 50(t+1)(k+9) + Z^*_k+1(t+1)

и

Z_k(t, u^з) = 500(k+9)(1,1  2^-t) + Z^*_k+1(t+1),

а в 9-м столбце  минимальное из чисел, стоящих в 5-м и 8-м столбцах.

Безусловная оптимизация: Z_min = 17387,5 руб.

Оптимальное управление: u^*₁ = u^c  ^*₁ = t_l = 1  u^*₂ = u^*₂(1) = u^c 

^*₂ = t₂ = 2  u^*₃ = u^*₃(2) = u^c 

^*₃ = t₃ = 3  u^*₄ = u^*₃(3) = u^з 

^*₄ = t₄ = 1  u^*₅ = u^*₅(1) = u^c 

^*₅ = t₅ = 2  u^*₆ = u^*₆(2) = u^c (в этой цепочке использовались уравнения состояния (8.1) и последние столбцы табл. 2 и 1).

Оптимальное управление: U*= ( u^с, и^с, и^с, и³, и^с, и^с).

Следовательно, купленную автомашину следует эксплуатировать в течение трех лет, на 4-м году заменить новой и продолжать использовать оставшееся время. Оптимальный режим эксплуатации автомашины соответствует траектории, изображенной на рис. 9 двумя сплошными линиями.

Таблица 2

k	t (t<k)	50(t + 1) (k+9)	Z*k+1(t+1)	Z*k(t,uc)	500(k+9)(l,l2-t)	Z*k+1(1)	Zk(t,uз)	Z*k(t)	u*k(t)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	0 1 2 3 4	700 1400 2100 2800 3500	500 1250 2500 3500 4015,6	200 2650 4600 6300 7515,6	77007000 = 700 77003500 = 4200 77001750 = 5950 7700875 = 6825 7700-437,5=7262,5	500 500 500 500 500	200 3700 5450 6325 6762,5	200 2650 4600 6300 6762,5	uc (u3) uc uc uc u3
4	0	650	2650	3300	71506500=650	2650	3300	3300	uc (u3)
	1	1300	4600	5900	71503250 = 3900	2650	6550	5900	uc
	2	1950	6300	8250	71501625=5525	2650	8175	8175	uз
	3	2600	6762,5	9362,5	7150-812,5=6337,5	2650	8987,5	8987,5	uз
3	0	600	5900	6500	66006000=600	5900	6500	6500	uc (u3)
	1	1200	8175	9375	66003000=3600	5900	9500	9375	uc
	2	1800	8987,5	10787,5	66001500=5100	5900	11000	10787,5	uc
2	0	550	9375	9925	60505500=550	9375	9925	9925	uc (u3)
	1	1100	10787,5	11887,5	60502750=3300	9375	12675	11887,5	uc
1	0	5500	11887,5	17387,5				17387,5	uc

Рис. 9

Задание к лабораторной работе №11 по теме «Задача о замене оборудования».

25-26. Многокритериальные задачи . множество компромиссных решений (множество Парето)