- •Введение в теорию принятия решений
- •Классы и методы решения задач теории принятия решений
- •Основные понятия и этапы моделирования
- •Функции многих переменных. Понятие о квадратичной форме. Свойства квадратичных форм
- •Приведение квадратичной формы к диагональному виду с помощью выделения полного квадрата
- •Положительная (отрицательная) определенность квадратичных форм. Критерий сильвестра
- •8. Необходимое и достаточное условие положительной(отрицательной) определенности
- •3.2. Частные производные 2-го и высших порядков.
- •10. Необходимые и достаточные условия минимума (максимума) функции многих переменных. Классический метод
- •3.5. Достаточные условия существования экстремума.
- •11.Теоремы о квадратичных формах. Закон инерции квадратичных форм
- •12. Методы минимизации функций одной переменной
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Метод золотого сечения.
- •13. Удвоение
- •14. Метод наискорейшего спуска. Вычисление длины шага и методы наискорейшего спуска
- •1 Методы безусловной минимизации. Градиентные методы (метод наискорейшего спуска).
- •15. Методы условной минимизации. Метод проекции градиента.
- •16. Основные понятия проблемы
- •17. Система линейных однородных уравнений для вычисления собственных векторов
- •6.2. Основные определения.
- •Характеристическое уравнение
- •Теоремы гергошина
- •Приведение матрицы к диагональному виду с помощью матрицу с собственными векторами
- •7.2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.
- •7.3. Уравнения р. Беллмана.
- •Глава 8. Задача о замене оборудования
- •8.1. Постановка задачи.
- •8.2. Построение модели динамического программирования для задачи о замене
- •8.3. Числовой пример
- •9.1. Метод последовательных уступок.
- •9.2. Метод идеальной точки.
Положительная (отрицательная) определенность квадратичных форм. Критерий сильвестра
Определение 3. Квадратичная форма L(х1,х2,...,хn) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,
L(х1,х2,...,хn) > 0 (L(х1,х2,...,хn) < 0).
Так, например, квадратичная форма
L1 = 3x12 + 4x12 + 9x32
является положительно определенной, а форма
L2 = 10x12 + 2x1x2 5x22
— отрицательно определенной.
Нарисуем трехмерный график (пространственную форму) отрицательно-определенной квадратичной формы.
Рис.1. График отрицательно-определенной формы.
Теорема 3. Для того чтобы квадратичная форма L = Х'АХ была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения i, матрицы А были положительны (отрицательны).
В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.
Теорема 4 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е 1> 0, 2> 0,…, n>0, где
.
Следует отметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака "минус" для минора первого порядка.
Доказательство. При n=1 теорема верна, так как форма имеет в этом случае вид ах2 и поэтому положительно определена тогда и только тогда, если а>0. Будем поэтому доказывать теорему для случая n неизвестных, предполагая, что для квадратичных форм от n 1 неизвестных она уже доказана.
Сделаем сначала следующее замечание:
Если квадратичная форма L с действительными коэффициентами, составляющими матрицу A подвергается невырожденному линейному преобразованию с действительной матрицей Q, то знак определителя квадратичной формы (т.е. определителя ее матрицы) не меняется.
Действительно, после преобразования мы получаем квадратичную форму с матрицей QТAQ, однако, ввиду |QТ| = |Q|,
QТAQ = QТAQ=AQ2,
т. е. определитель |А| умножается на положительное число.
Пусть теперь дана квадратичная форма
Ее можно записать в виде
, (4)
где будет квадратичной формой от n1 неизвестных, составленной из тех членов формы L, в которые не входит неизвестное хn.
Главные миноры формы совпадают, очевидно, со всеми, кроме последнего, главными минорами формы L.
Необходимость. Пусть форма L положительно определена. Форма также будет в этом случае положительно определенной: если бы существовали такие значения неизвестных х1, х2, …, хn-1, не все равные нулю, при которых форма получает не строго положительное значение, то, полагая дополнительно хn = 0, мы получили бы, ввиду (4), также не строго положительное значение формы L, хотя не все значения неизвестных x1, х2, ... , xn-1, хn равны нулю. Поэтому, по индуктивному предположению, все главные миноры формы , т. е. все главные миноры формы L, кроме последнего, строго положительны. Что же касается последнего главного минора формы L, т. е. определителя самой матрицы А, то его положительность вытекает из следующих соображений: форма L, ввиду ее положительной определенности, невырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов. Определитель этого нормального вида строго положителен, а поэтому ввиду сделанного выше замечания положителен и определитель самой формы L.
Достаточность. Пусть теперь строго положительны все главные миноры формы L. Отсюда вытекает положительность всех главных миноров формы , т. е., по индуктивному предположению, положительная определенность этой формы. Существует, следовательно, такое невырожденное линейное преобразование неизвестных х1, х2, ... , хn-1, которое приводит форму к виду суммы n-1 положительных квадратов от новых неизвестных у1, у2, ... , уn-1. Это линейное преобразование можно дополнить до (невырожденного) линейного преобразования всех неизвестных xl, x2, ..., хn, полагая хn= уn. Ввиду (4) форма L приводится указанным преобразованием к виду
; (5)
точные выражения коэффициентов bin для нас несущественны. Так как
,
то невырожденное линейное преобразование
,
,
приводит, ввиду (5), форму L к каноническому виду
. (6)
Для доказательства положительной определенности формы L остается доказать положительность числа с. Определитель формы, стоящей в правой части равенства (6), равен с. Этот определитель должен, однако, быть положительным, так как правая часть равенства (6) получена из формы L двумя невырожденными линейными преобразованиями, а определитель формы L был, как последний из главных миноров этой формы, положительным.
Доказательство теоремы закончено.
Пример 2.4. Доказать, что квадратичная форма L = 13x12 6x1x2 + 5x22 является положительно определенной.
Решение. Первый способ. Матрица А квадратичной формы имеет вид
A =
Для матрицы А характеристическое уравнение
.
Решая уравнение, найдем 1 = 14, 2 = 4. Так как корни характеристического уравнения матрицы А положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма L — положительно определенная.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы А
положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма L положительно определенная.
Нарисуем трехмерный график (пространственную форму) нашей квадратичной формы L = 13x12 6x1x2 + 5x22
Рис.2. График положительно-определенной формы.
Таким образом, график положительно-определенной квадратичной формы имеет такой вид. Он ограничен областью определения, имеющей вид прямоугольника. На самом деле трехмерный график неограничен.