- •Введение в теорию принятия решений
- •Классы и методы решения задач теории принятия решений
- •Основные понятия и этапы моделирования
- •Функции многих переменных. Понятие о квадратичной форме. Свойства квадратичных форм
- •Приведение квадратичной формы к диагональному виду с помощью выделения полного квадрата
- •Положительная (отрицательная) определенность квадратичных форм. Критерий сильвестра
- •8. Необходимое и достаточное условие положительной(отрицательной) определенности
- •3.2. Частные производные 2-го и высших порядков.
- •10. Необходимые и достаточные условия минимума (максимума) функции многих переменных. Классический метод
- •3.5. Достаточные условия существования экстремума.
- •11.Теоремы о квадратичных формах. Закон инерции квадратичных форм
- •12. Методы минимизации функций одной переменной
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Метод золотого сечения.
- •13. Удвоение
- •14. Метод наискорейшего спуска. Вычисление длины шага и методы наискорейшего спуска
- •1 Методы безусловной минимизации. Градиентные методы (метод наискорейшего спуска).
- •15. Методы условной минимизации. Метод проекции градиента.
- •16. Основные понятия проблемы
- •17. Система линейных однородных уравнений для вычисления собственных векторов
- •6.2. Основные определения.
- •Характеристическое уравнение
- •Теоремы гергошина
- •Приведение матрицы к диагональному виду с помощью матрицу с собственными векторами
- •7.2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.
- •7.3. Уравнения р. Беллмана.
- •Глава 8. Задача о замене оборудования
- •8.1. Постановка задачи.
- •8.2. Построение модели динамического программирования для задачи о замене
- •8.3. Числовой пример
- •9.1. Метод последовательных уступок.
- •9.2. Метод идеальной точки.
13. Удвоение
Поиск отрезка, содержащего точку минимума. Метод удвоения шага.
Поиск заключается в том, что осуществляются возрастающие по величине шаги до тех пор, пока не будет пройдена точка минимума функции f(x) (предполагается, что в обоих направлениях от точки х0, значения функции когда-нибудь начнут возрастать).
Шаг 1 (нестандартный). Выбирают точку x0 и определяют направление убывания функции f(x). Для этого выбирают число h и вычисляют f(x0+h). Если f(x0 + h) < f(x0), то полагают х1 = x0+ h и переходят к шагу 2 при k=1. Если f(x0+ h) f(x0), то полагают h = -h и вычисляют f(x0+h). Если f(x0 + h) < f(x0), то полагают х1 = х0 + h и переходят к шагу 2 при k = 1. Если f(x0+ h) f(x0), то полагают h = h/2 и повторяют процедуру предварительного шага. В результате шага 1 получают число h и точки x0, x1= x0 + h такие, что f(x1) < f(x0).
Шаг 2. Удваивают h и вычисляют хk+1 = xk + h.
Шаг 3. Вычисляют f(xk+1). Если f(xk+1) < f(xk), то полагают k=k+1 и переходят к шагу 2. Если f(xk+1) f(xk), то поиск останавливают и в качестве отрезка, содержащего точку минимума, выбирают [xk-1, xk+1].
Пример 1: y = (x2-9)(x-4), x0 = -1, h=1.
Прежде чем применять данный метод необходимо убедиться, что мы не последуем в ложном направлении. А именно – можно двигаться в сторону минус бесконечности целую бесконечность времени.
Для этого реализуем метод удвоения для функции из примера 1 с начальным приближением x0 = -2. Вычисления согласно методу удвоения показаны в таблице 1.
Таблица 1
|
|
xk |
f(xk) |
Шаг 1. |
x0 = |
-2 |
30 |
|
h= |
1 |
|
|
x0+h= |
-1 |
40 |
|
|
|
|
|
h=-h |
-1 |
|
|
x0+h= |
-3 |
0 |
|
|
|
|
|
x1 = x0 +h |
-3 |
|
|
k=1 |
|
|
Шаг 2. |
h=2h |
-2 |
|
|
|
|
|
|
x2 = x1 +h |
-5 |
-144 |
|
k=k+1 = 2 |
|
|
Шаг 2. |
h=2h |
-4 |
|
|
x3 = x2 +h |
-9 |
-936 |
Из этих вычислений видно, что мы долго можем двигаться в сторону минус бесконечности. Поэтому желательно вначале построить график функции, чтобы правильно выбрать начальную точку.