- •Введение в теорию принятия решений
- •Классы и методы решения задач теории принятия решений
- •Основные понятия и этапы моделирования
- •Функции многих переменных. Понятие о квадратичной форме. Свойства квадратичных форм
- •Приведение квадратичной формы к диагональному виду с помощью выделения полного квадрата
- •Положительная (отрицательная) определенность квадратичных форм. Критерий сильвестра
- •8. Необходимое и достаточное условие положительной(отрицательной) определенности
- •3.2. Частные производные 2-го и высших порядков.
- •10. Необходимые и достаточные условия минимума (максимума) функции многих переменных. Классический метод
- •3.5. Достаточные условия существования экстремума.
- •11.Теоремы о квадратичных формах. Закон инерции квадратичных форм
- •12. Методы минимизации функций одной переменной
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Метод золотого сечения.
- •13. Удвоение
- •14. Метод наискорейшего спуска. Вычисление длины шага и методы наискорейшего спуска
- •1 Методы безусловной минимизации. Градиентные методы (метод наискорейшего спуска).
- •15. Методы условной минимизации. Метод проекции градиента.
- •16. Основные понятия проблемы
- •17. Система линейных однородных уравнений для вычисления собственных векторов
- •6.2. Основные определения.
- •Характеристическое уравнение
- •Теоремы гергошина
- •Приведение матрицы к диагональному виду с помощью матрицу с собственными векторами
- •7.2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.
- •7.3. Уравнения р. Беллмана.
- •Глава 8. Задача о замене оборудования
- •8.1. Постановка задачи.
- •8.2. Построение модели динамического программирования для задачи о замене
- •8.3. Числовой пример
- •9.1. Метод последовательных уступок.
- •9.2. Метод идеальной точки.
11.Теоремы о квадратичных формах. Закон инерции квадратичных форм
12. Методы минимизации функций одной переменной
В связи с тем, что градиент функции многих переменных указывает направление наискорейшего возрастания функции в окрестности точки, в которой вычисляется градиент, то поиск минимума функции многих переменных по существу сводится к минимизации функции одной переменной.
4.1. Постановка задачи.
Пусть R={x:- <x<} - числовая ось, X - некоторое множество из R, f(x) - функция, определённая на множестве X и принимающая во всех точках xX конечные значения. Примерами множеств X из R являются: отрезок, интервал, полуинтервалы. Будем рассматривать задачу минимизации функции f(x) на множестве X.
Определение 1: Точку x*X называют точкой минимума функции f(x) на множестве X, если f(x*)f(x) для всех xX; величину f(x*) называют наименьшим или минимальным значением f(x) на X и обозначают . Множество всех точек минимума f(x) на X будем обозначать через X* .
В зависимости от свойств множества X и функции f(x) множество X* может содержать одну, несколько или даже бесконечно много точек, а также возможны случаи, когда X* пусто.
Пример 1: Пусть при x0 и f(0)=0. На множестве X={x: 1 x 2} минимальное значение F(x) равно нулю, множество X* содержит одну точку x* =1. Если X={x: 1/3 x 1}, то множество X* содержит три точки: 1/3, 1/2, 1; если X={x: 0 x 1}, то X* = {x: x =1/n, n=1,2,…} - счётное множество. В случае, когда X={x: 2 x < } функция f(x) не имеет наименьшего значения на X. В самом деле, какую бы точку xX ни взять, найдётся точка yX (например, y = k при достаточно большом k), такая что f(x)>f(y). Это значит, что X* = .
Пример 2: Функция на X={x: x1} принимает своё наименьшее значение, равное нулю, во всех точках отрезка X* ={x: 0 x1}. Если X={x: 1 x 2}, то X* содержит одну точку x*=1; если X={x: 1 < x 2}, то X* = .
Пример 3: Пусть f(x)=x при x0 и f(0)=1. На множествах X={x: 0 x 1} или X={x: 0 < x 1} эта функция не имеет наименьшего значения, т.е. X* =.
Пример 4: Пусть f(x) = ln(u), X={x: 0 < x 1}. Здесь X* =, так как во всех точках из X функция принимает конечные значения, а для последовательности xk =1/k, (k=1,2,…) имеем .
Определение 2: Функция f(x) называется ограниченной снизу на множестве X, если существует такое число М, что f(x)М для всех xX. Функция F(x) не ограничена снизу на X, если существует последовательность {xk}X, для которой .
В примерах 1-3 функции ограничены снизу на рассматриваемых множествах, а в примере 4 функция не ограничена.
В тех случаях, когда X* =, естественным обобщением понятия наименьшего значения функции является понятие нижней грани функции.
Определение 3: Пусть функция f(x) ограничена снизу на множестве X. Тогда число f* называют нижней гранью f(x) на X, если
f* f(x) при всех xX;
для любого сколь угодно малого числа >0 найдётся точка xX, для которой f(x)<f* + . Если функция f(x) не ограничена снизу на X, то в качестве нижней грани F(x) на X принимается f* =-. Нижнюю грань f(x) на X обозначают через .
В примерах 1-3 нижняя грань J* =0, а в примере 4 f* =-.
Если X* , то очевидно, нижняя грань f(x) на X совпадает с наименьшим значением этой функции на X, т.е. В этом случае говорят, что функция f(x) на X достигает своей нижней грани. Подчеркнём, что всегда существует, а , как мы видели из примеров 1-4, не всегда имеет смысл. Введём ещё два определения.
Определение 4: Последовательность {xk}X называется минимизирующей для функции f(x) на множестве X, если
.
Из определения и существования нижней грани следует, что минимизирующая последовательность всегда существует.
Определение 5: : Скажем, что последовательность {xk} сходится к непустому множеству X, если , где - расстояние от точки xk до множества X.
Теорема К. Вейерштрасса. Всякая непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве достигает экстремума (минимума, максимума).