9. Реологічне рівняння ньютонівської рідини.

Рівняння реологічного стану виражає залежність напруги зсуву від швидкості деформації (швидкості зсуву) і є математичною моделлю, що відображає реальні властивості середовища.

Для нестискних в’язких ньютоновських рідин реологічне рівняння має вид

, (11)

де τ_ij – компонента напруги зсуву, Па; μ – в’язкість розплаву, Па с; Δ_ij – тензор швидкості деформації, котрий визначається з рівняння

. (12)

У прямокутних координатах вираз має наступний вид

(13)

Напруги зсуву розташовані в площині зсуву шарів рідини і спрямовані по одній з координат, що позначається з допомогою індексів. Перший індекс у напруги зсуву позначає координату, що перпендикулярна до поверхні, в котрої виникає напруга, а другий індекс – напрямок цієї напруги.

Прикладення зсувних напруг неминуче викликає розтягання або стиснення елементів рідини в відповідних напрямках, тобто при течії з’являються поряд з дотичними нормальні напруги. Вони виникають також припри створенні в рідині гідростатичного тиску. Стискуючі або розтягуючи нормальні напруги звичайно позначають літерами з двома однаковими індексами, наприклад, σ_хх, σ_уу, σ_zz і т.д.

Нормальні напруги зв’язані з деформацією рівняннями і для нестискнених ньютоновських рідин мають вид

. (14)

Тензор швидкості деформації залежить від характеру дії зовнішніх сил та виду течії в’язкого середовища. Так, при простій зсувній течії, коли є тільки одна складова швидкості, одна з компонент швидкості деформації стає рівною нулю, і реологічне рівняння (11) приймає вид рівняння Ньютона

, (15)

де – швидкість зсуву, с^-1.

У фізичному розумінні швидкості зсуву – це інтенсивність зміни швидкості потоку по координаті, нормальної до площини зсуву. У розплавів полімерів спостерігається залежність в’язкості від швидкості зсуву. Тому що на в’язкість впливає режим течії, вводять поняття ефективної в’язкості, тобто в’язкості, що виміряється при певному значенні швидкості зсуву.

Для розплавів полімерів, що проявляють постійну ступінь аномалії в’язкості в достатньо широкому інтервалі швидкостей зсуву і не маючих вираженої області, в інженерних розрахунках застосовується степеневе рівняння, котре для зсувної одномірної течії має вид

, (16)

де К – коефіцієнт, чисельно рівний в’язкості системи при = 1; п – показник степеню, для розплавів полімерів п < 1.

10. Реологічне рівняння неньютонівської рідини.

Деформационное поведение реальных дисперсных систем, к которым относятся пищевые массы, можно охарактеризовать так называемой кривой течения. Эта кривая строится по экспериментальным данным в координатах: напряжение сдвига – скорость сдвига. В общем виде эту зависимость можно записать как:

, или . (1.10)

Это уравнение применимо для реальных систем, которые могут быть либо жидкостями либо твердообразными материалами. Жидкости, в свою очередь подразделяются на ньютоновские и неньютоновские. Твердообразные материалы, имеющие предельное напряжение сдвига τ₀, являются, как правило, неньютоновскими средами.

Кривые течения жидкостей исходят из начала координат (рис. 1.4). Из этого следует, что жидкость является средой, поддающейся деформации (течению) независимо от величины вязкости при сколь угодно малом прилагаемом внешнем усилии. Твердообразные системы могут течь, проявляя свойства жидкостей только после превышения касательным напряжением некоторой критической величины – предельного напряжения сдвига τ₀, определяющей пластические свойства материала.

Рисунок 1.4. Кривые течения:

1 – ньютоновской жидкости; 2 – дилатантной жидкости;

3 – структурно-вязкая жидкость; 4 – нелинейного пластичного тела;

5 – линейного пластичного тела

Кривые течения (реограммы) ньютоновских жидкостей представляют собой прямую линию 1, проходящую через начало координат (рис. 1.4). Для таких жидкостей применимо реологическое уравнение Ньютона:

. (1.11)

Все кривые течения (2 – 5), которые отклоняются от прямой линии, называют неньютоновскими (аномально-вязкими) жидкостями. Неньютоновское поведение жидкостей может иметь различные причины: в жидких дисперсных системах определяющую роль играет ориентация частиц дисперсной фазы, изменение их формы и степени агрегации, в коллоидных жидкостях – постепенно углубляющееся с ростом напряжений разрушение (или изменение) внутренней структуры; в полимерах – эффекты механической релаксации, т.е. перераспределения напряжений. В конкретных случаях может иметь место наложение различных механизмов; например, неньютоновское поведение наполненных полимеров связано как со структурными перестройками, так и с релаксационными явлениями. Частный случай неньютоновского поведения жидкости – изменение вязкости с течением времени из-за протекающих в среде химических реакций. Если реакция идет в гомогенной среде, изменение вязкости среды отражает изменение ее состава; при этом деформирование обычно не влияет на кинетические закономерности реакции. Однако для гетерогенных реакций, например гетерогенной полимеризации или отверждения олигомеров, деформирование влияет на кинетику реакции (например, сдвиговое течение в реакторе или воздействие ультразвуковыми колебаниями).

Среди пищевых материалов существуют такие, у которых вязкость изменяется от скорости деформирования. Такие жидкости описываются реологическим уравнением Оствальда-де-Виля:

, (1.12)

где К – коэффициент консистенции, зависящий как от природы материала, так и от вида и геометрии измерительных элементов прибора;

n – индекс течения.

.

При этом кривая 2 характеризует дилатантное течение (при n > 1), характерное в основном для концентрированных дисперсных систем, при котором с увеличением скорости деформации наступает «затруднение сдвига», т.е. происходит повышение вязкости; кривая 3 описывает псевдопластическое течение (при 0 < n < 1), что характерно для «сдвигового размягчения» вследствие разрушения структуры с увеличением скорости деформации;

Кривая 4 показывает нелинейное пластическое течение, характерное для большинства пластичных тел после достижения предельного напряжения сдвига τ₀, реологическое уравнение Гершеля – Балкли описывает их поведение:

. (1.13)

Линейная зависимость 5 характерна для бингамовских тел и соответствует идеальному пластичному течению, у которых после достижения предельного напряжения сдвига τ₀ наблюдается пропорциональность между скоростью и напряжением сдвига. Такие материалы описываются уравнением Бингама:

, (1.14)

где η_пл – пластическая вязкость, Па·с.

Таким образом, в качестве контролируемого параметра всех молочных продуктов может быть принята величина эффективной вязкости η_эф (при ). Для молочных продуктов, имеющих вязко-пластичный характер течения, необходимо контролировать предельное напряжение сдвига τ₀ и пластическую вязкость η_пл.

Для многих неньютоновских жидкостей характерны такие явления, как тиксотропия – обратимое уменьшение вязкости («разжижение») жидкости или структурирование системы во времени (рис. 1.5,а), и реопексия – рост вязкости предельно наполненных дисперсных систем с вязкой дисперсионной средой (рис. 1.5,б).

Рис. 1.5. Кривые течения характеризующие:

а) тиксотропные системы; б) реопексные системы

Во многих процессах продукт подвергается интенсивным механическим воздействиям (в насосах, мешалках и т.д.), т.е. его структура достигает частичного или практически предельного разрушения. Поэтому при использовании результатов реологических исследований для практических расчетов следует хотя бы приближенно выбрать ту кривую течения, которая соответствует данной степени разрушения. В соответствии с этим при расчете различных процессов необходимо использовать характеристики, определенные в соответствующем интервале напряжений и деформаций. Качественную оценку продукта также необходимо проводить по наиболее существенным для данного процесса характеристикам.