17. Загальні уяви про фізичну сутність і математичне моделювання технологічних процесів.

Анализ физической сущности большинства процессов переработки термопластичных и термореактивных материалов показывает, что многие наблюдающиеся физические явления (диссипативный разогрев, ориентация, механодеструкция и т. д.) возникают вследствие деформации полимерной среды. Поэтому первый шаг в построении теории переработки – это создание методов количественного описания механики процессов переработки, с помощью которых учитываются главные особенности полимерного материала.

При строгом подходе к построению математических моделей все многообразие известных процессов переработки можно был бы отождествить с набором отдельных задач, отличающихся друг от друга только начальными и граничными условиями В принципе каждая из таких задач должна содержать уравнения движения сплошной среды, записанные в той или иной форме уравнение материального баланса, уравнение энергетического баланса и реологическое уравнение состояния, характеризующее сопротивляемость среды приложенным к ней внешним воздействиям.

К сожалению, такая строгая постановка задачи часто оказывается практически невозможной, и при математическом описании реальных производственных процессов приходится прибегать к существенным упрощениям. При этом значительную помощь в создании математических моделей оказывает анализ простых случаев движения аномально-вязких жидкостей. Прием такого рода вполне допустим. Он позволяет независимо устанавливать основные закономерности наиболее простых случаев одномерного изотермического течения псевдопластичных жидкостей, выбранных в качестве математического аналога полимерных расплавов.

Таким образом, первые темы курса лекций «Теоретические основы переработки полимеров» в 6 семестре являются своеобразным теоретическим фундаментом, на базе которого строятся математические модели основных процессов переработки полимеров (экструзии, вальцевания, каландрования, литья под давлением, прессования). Хотя слушатели курса, без сомнения, знакомы с основными процессами переработки полимеров, мы считаем полезным перед построением математической модели каждого технологического процесса кратко изложить его физическую сущность, дав по возможности исчерпывающую качественную картину явления. Такой подход необходим, потому что при построении математических моделей крайне важно правильно выбирать степень адекватности модели реальному явлению, избегая как чрезмерного упрощения, так и чрезмерного усложнения.

Наиболее широко такой подход используется при моделировании экструзии полимеров. За последние 50 лет этот процесс привлекал к себе внимание многочисленных отечественных и зарубежных исследователей. На его примере можно проследить, как по мере уточнения качественной картины улучшалось и его математическое описание. После ранних работ Роуэллса и Финальсона крупным шагом в области теории экструзии явились работы Карлея, Штруба, Шенкеля, Мак-Келви, Бернхарда, рассматривавших экструдер как вязкостный винтовой насос, создающий изотермическое течение ньютоновской жидкости. Паралельно в этой области работали Торнер Р.В., Рябинин Д.Д., Лукач Ю.Е., Радченко Л.Б. и др.

Сегодня этот вывод кажется тривиальным, хотя в свое время ставились эксперименты по визуальному исследованию траекторий движения частиц полимеров в канале червяка. Наиболее убедительные и наглядные данные, подтвердившие винтовой характер линий тока в канале червяка, были получены Эккером и Валентиотти, впервые создавшими специальную установку, в которой червяк был неподвижен, а прозрачный корпус вращался вокруг него. Для визуализации линий тока в прозрачную смесь низкомолекулярного полиизобутилена с парафиновым маслом добавляли немного алюминиевых опилок, движение которых регистрировалось оптически. После опубликования этой работы гидродинамическая теория экструзии получила всеобщее признание. Однако использование ее уравнений для практических целей наталкивалось на ряд затруднений. Основным препятствием являлась невозможность определить длину участка червяка, занятого расплавом: это не позволяло рассчитать ни одного параметра процесса даже в первом приближении.

Вскоре после этих исследований появилась работа Дарнелла и Молла (1956 г.), подробно рассмотревших движение порошкообразного материала в зоне питания червячного экструдера. Затем наступил длительный период экспериментальных исследований, в процессе которых формировались качественные представления о механизме плавления полимера в экструдере. После ряда работ Маддока, Стрита, Маршалла и др. стало ясно, что плавление полимера в канале червяка напоминает плавление толстой пластины, одна поверхность которой скользит по горячему металлическому листу под скребком. При этом слой расплава, образовавшийся на поверхности пластины, соскребается скребком в одну сторону.

Как только была установлена качественно правильная физическая картина процесса плавления, сразу были созданы и его математические модели. Появление этих моделей позволило приступить к построению математической модели всего процесса экструзии, и эта задача была выполнено.

Загальна математична модель процесів переробки полімерів і принципи її розв’язування

Неізотермічні процеси переробки полімерів у в’язко-текучому стані описуються системою рівнянь нерозривності (1), руху (6), енергії (9), реологічного стану полімеру (16). За допомогою цієї системи рівнянь можна будувати математичні моделі окремих процесів переробки полімеру в розплавленому стані. Для цього на основі аналізу фізики процесу в записаній системі рівнянь необхідно залишити тільки ті рівняння, а в них тільки ті складові, які найбільш суттєво впливають на процес. Далі необхідно сформулювати умови однозначності, а при розгляді процесів течії підібрати відповідне реологічне рівняння, яке дозволяє виключити компоненти напруги, замінивши їх компонентами швидкості деформації. При цьому число невідомих в рівняннях скорочується до п’яти і ця система стає замкненою (п’ять невідомих – п’ять рівнянь).

Зауважимо, що в ряді випадків для опису процесів течії користуються системою рівнянь для ньютонівської рідини, вважаючи при її розв’язанні в’язкість постійною, але її значення вибирається по кривій течії або по реологічному рівнянню (так звана ефективна в’язкість).

Для розв'язання рівняння енергії граничні умови задаються у вигляді і умов першого роду (відома температура обмежуючих поверхонь), другого роду (відома щільність теплового потоку на цих поверхнях), третього роду (відома температура оточуючого середовища і коефіцієнт тепловіддачі до цього середовища) і четвертого роду (однаковий тепловий потік на поверхні контакту середовищ). Можлива також комбінація цих умов залежно від умов проходження конкретного процесу.

Таким чином, спрощена на основі аналізу фізичної моделі процесу система рівнянь разом з умовами однозначності і функціями, які описують залежність теплофізичних властивостей від температури, є математичною моделлю процесу. В першому наближенні спочатку розв'язується система рівнянь гідродинаміки, в результаті чого знаходяться швидкісні поля і тиск, які підставляються потім в рівняння енергії, інтегрування якого дозволяє визначити температурні поля і потужність дисипації. Розв’язання системи рівнянь в першому наближенні не враховує впливу зміни температури на швидкісні поля. Тому в другому наближенні рівняння гідродинаміки і енергії розв’язуються разом, для чого, як правило, використовуються ітеративні методи.