33. Фізична сутність і математична модель операції калібрування порожнистого виробу.

Физическая сущность формообразования трубчатой заготовки

После истечения заготовки из формующего зазора происходит ее вытяжка под действием силы тяжести, и чем длиннее заготовка, тем с большею скоростью идет вытяжка. Самопроизвольная вытяжка является причиной уменьшения толщины стенки и появления разнотолщинности изделия по высоте. Действие массы заготовки приводит к развитию растягивающих напряжений, которые частично уравновешивают нормальные напряжения, обусловленные напряжениями сдвига. В результате, когда масса заготовки достаточно большая, на верхнем участке под действием силы тяжести эластическое восстановление струи затормаживается и происходит вытяжка расплава. Чем медленнее экструдируется заготовка, тем длительнее действие силы тяжести, тем больше разнотолщинность. Таким образом, скорость выдавливания заготовки должна быть такой, чтобы разнотолщинность последней не превышала допустимой величины.

Математическая модель формообразования

Имеется несколько аналогичных вариантов математического описания операции формообразования (вытяжки) заготовки Рассмотрим вариант, предлагаемый Н.И. Басовым и др. [10], более доступно излагаемый.

Рис 1. Схема выдавливания заготовки: 1 – матрица; 2 – дорн; 3 – заготовка; 4 – кольцевой формующий канал.

Поскольку процесс формообразования заготовки протекает во времени, разнотолщинность ее зависит от скорости выдавливания расплава, вязкости, массы заготовки и напряжения сдвига. На рис. 1 показано продольное сечение матрицы 1 и дорна 2 головки, а также заготовки 3, выдавливаемого из образованного матрицей и дорном кольцевого формующего канала (зазора) 4, имеющего ширину а. Средняя скорость расплава в канале V. К рассматриваемому моменту времени t заготовка достигла длины L.

Степень утонения стенки заготовки в любом сечении ее с продольной координатой x пропорциональна массе заготовки ниже этого сечения (т.е. массе заготовки G_L-x, равной разности полной массы заготовки G_L и массы G_x участка ее на длине x), а также времени воздействия этой массы t_x, т.е. времени пребывания данного сечения вне канала головки.

Очевидно, что конец заготовки с координатой x=L не утоняется, т.к. G_L=0. Верхний конец заготовки при x=0, несмотря на то, что на него действует максимальная масса, также не вытянулся, т.к. время воздействия на него этой массы t_x практически равно нулю. Максимальное утонение заготовки имеет место в средней части ее; здесь текущее значение y_x толщины заготовки минимально (y_мин).

Чем меньше скорость экструзии V, тем больше разнотолщинность заготовки z, количественное значение которой принимается следующим

z= y_мин/a. (9.1)

Существует минимально допустимое значение скорости экструзии V_мин , при котором разнотолщинность z достигает своей допустимой величины [z]

V_мин=V|_z=[z]. (9.2)

Для определения V_мин необходимо установить связь между V и z (z – из зависимости (9.1)), для чего рассмотрим реологическое звено этой связи.

Реологическое уравнение для вязкотекучего состояния материала заготовки при растяжении имеет вид

σ_x=η_p έ_x; έ_x=dε_x/dt_x, (9.3)

где σ_x – нормальное растягивающее напряжение, действующее в поперечном сечении заготовки с координатой х; η_p – вязкость при растяжении; έ_x – скорость деформации растяжения (έ_x=dε_x/dt_x, где ε_x – относительная деформация удлинения в месте заготовки с этой же координатой х).

В ньютоновской области кривой течения расплавов термопластов (т.е. в области малых напряжений) соотношение между вязкостью при растяжении η_p и вязкостью при сдвиге η_н имеет вид

η_p=3 η_н. (9.4)

Напряжения же в заготовке от силы тяжести настолько малы, что соотношение (9.4) можно считать справедливым и для нашего случая.

Из условия несжимаемости расплава при вытяжке объемная относительная деформации ε_V равна нулю

ε_V=ε_x+ ε_y+ ε_φ=0, (9.5)

где ε_y и ε_φ – относительные деформации в радикальном (y) и окружном (φ) направлениях соответственно.

Так как имеет место одноосное растяжение, то деформации в радиальном и окружном направлениях равны

ε_y=ε_φ. (9.6)

Вводя (9.6) и (9.5), получаем

ε_x=–2 ε_y. (9.7)

Если соотношение (9.8) между деформациями ε_x и ε_y справедливо в любой момент времени, то такое же соотношение имеет место и между скоростями этих деформаций

dε_x/dt_x=–2dε_y/dt_x. (9.8)

Выражение для dε_y очевидно

dε_y=dy_x/y_x. (9.9)

Рассматривая полоску заготовки единичной ширины в окружном направлении φ, можем записать следующее выражение для напряжения σ_x

σ_x= G_L-x/(y_x·1). (9.10)

Вводя выражения (9.9), (9.8) и (9.4) в правую часть реологического уравнения (9.3), а выражение (9.10) – в левую часть его, получаем

G_L-x=–6 η_н(dy_x/ dt_x). (9.11)

С учетом того, что масса G_L-x, действующая на данное принятое сечение (рис.1), не изменяется с возрастанием времени t_x, проинтегрируем (9.11) в пределах изменения y_x и t_x

или . (9.12)

Выражение для G_L-x зависит от скорости экструзии V и плотности расплава ρ следующим образом

G_L-x=G_L–G_x=ρgV(a·1)t_L– ρgV(a·1)t_x= ρgVa(t_L– t_x), (9.13)

где g – ускорение свободного падения.

Вводя (9.13) в (9.12) и решая полученное выражение относительно y_x, получаем

y_x=a[1–χV(t_L–t_x)t_x], (9.14)

где χ=ρg/(6η_н).

Для решения поставленной задачи отыскания связи между z=y_мин/a и V, очевидно необходимо определить выражение для y_мин. По правилам отыскания экстремума функции y_x(t_x) значение координаты t_x, соответствующей экстремуму, таково

. (9.15)

В соответствии с этим, беря производную по t_x от выражения (18.14) и приравнивая ее к нулю, получаем

. (9.16)

Вводя (9.16) и (9.14), находим выражение для y_мин

y_мин=za, (9.17)

где z=1– χ V(t_L/2)².

Выражение (9.17) представляет собой искомую взаимосвязь между разнотолщинностью z и скоростью экструзии V, однако оно содержит время экструзии заготовки t_L, которое удобнее выразить через требуемую длину заготовки L, поскольку именно она известна на стадии подготовки к производству данного изделия.

Скорость нижнего конца заготовки V_L несколько больше, чем скорость экструзии V вследствие вытяжки заготовки, однако при малых степенях вытяжки это различие столь незначительно, что можно записать следующее приближенное соотношение

t_L≈L/V. (9.18)

Вводя (9.18) (9.17), окончательно имеем

V=ρ g L²/[24η_н(1–z)]. (9.19)

Вводя в выражение (9.19) величину допустимой разнотолщинности [z], в соответствии с (9.2) получаем формулу для расчета минимально допустимой скорости экструзии V.