30. Стаціонарні задачі теплопровідності для термічної обробки (охолодження) виробів з полімерів.

1. Стаціонарні задачі теплопровідності

Стаціонарні процеси характерні тим, що їх параметри не залежать від часу, тобто . Тоді рівняння теплопровідності

(3.1)

набуває вигляду

. (3.2)

Якщо відсутні внутрішні джерела, то . Оскільки , то

. (3.3)

Рівняння (3.3) описує процес стаціонарної теплопровідності за відсутності внутрішніх джерел енергії. Розглянемо деякі окремі випадки.

1.1. Межові умови першого роду

1.1.1. Одношарова плоска стінка

Мета розрахунку – знаходження функції, яка описує температурне поле , а також теплового потоку Q.

Рис.1. До визначення температурного поля в одношаровій плоскій стінці за межових умов першого роду

Умови однозначності.

1.Геометричні – стінка плоска, її товщина , ширина й висота стінки набагато перевищують її товщину.

2. Фізичні умови – теплопровідність стінки стала ( = const), внутрішні джерела енергії відсутні (q_V = 0).

3. Початкові умови – процес стаціонарний, .

4. Межові умови – відомі температури стінки Т_с1 = const і Т_с2 = const.

Розв’язання.

Оскільки ширина й висота стінки набагато перевищують її товщину, тобто , задачу можна розглядати як одновимірну. Тоді:

. (3.4)

Межові умови:

коли x = 0, T = T_c1;

коли x = , T = T_c2.

Після першого інтеґрування рівняння (3.4) одержимо вираз для ґрадієнта температури, який за такого формулювання задачі є сталим:

.

Після другого інтеґрування одержимо загальний розв’язок рівняння (3.4):

.

Константи інтеґрування знайдемо з межових умов:

коли x = 0, T_c1 = C₂;

коли x = , T_c2 = C₁ + C₂, звідки

.

Тоді функція, яка описує температурне поле:

. (3.5)

Рівняння (3.5) є рівнянням прямої. Тому часто використовується безрозмірна форма його запису. Відлік при цьому йде від найменшої температури (у даному випадку від T_c2).

Тоді ; ; , або

.

Позначивши, та , одержимо

. (3.6)

Рис.2. До визначення безрозмірної температури

Рівняння (3.6) характеризує безрозмірне поле температур, яке можна представити однією прямою у відрізках на осях, рівних одиниці, для будь-яких значень (рис.2).

Якщо , то , і, якщо , то .

Величину теплового потоку одержимо з рівняння Фур’є . Підставивши вираз для ґрадієнта температур, маємо

.

Таким чином,

. (3.7)

Рівняння (3.7) дозволяє розрахувати тепловий потік, якщо відомі температури стінок. Можна також визначити коефіцієнт теплопровідності:

.

Величина називається тепловою провідністю, а обернена їй величина – термічним опором стінки.

Тоді

і .

Термічний опір – це різниця температур, необхідна для одержання теплового потоку, який дорівнює одиниці.

[R] = м²  К/Вт.

Рівняння (3.7) можна розв’язати відносно T_c2:

, (3.8)

або для будь-якого перерізу:

. (3.9)

З рівняння (3.9) видно, що температура стінки за інших рівних умов зменшується тим швидше, чим більшим є питомий тепловий потік.