6. Рівняння нерозривності при течії розплаву .

Рівняння нерозривності є математичним виразом закону збереження речовини, який формулюється таким чином: маса замкнутої системи не змінюється. У декартовій системі координат рівняння нерозривності має вигляд:

. (1)

Якщо рідина є нестискною, тобто її густина  не змінюється з часом і в просторі, то рівняння (1) спрощується:

. (2)

Для одновимірного потоку стискної рідини, спрямованого вздовж осі х крізь переріз площею S, рівняння нерозривності можна записати у вигляді:

, (3)

або для усталеного потоку

,

звідки

. (4)

Для нестискної рідини:

, (5)

де w_і – середня швидкість руху нестискної рідини крізь переріз і, м/с; S_і – площа перерізу і, м²; V_c – об’ємна витрата рідини, м³/с.

Вираз (5) називається рівнянням сталості витрати та є формою рівняння нерозривності потоку (1).

7. Рівняння руху при течії розплаву.

Рівняння руху Нав’є–Стокса є прикладенням другого закону механіки Ньютона до процесів гідродинаміки: зміна кількості руху елемента рідини дорівнює сумі всіх сил, які діють на цей елемент. У декартовій системі координат рівняння руху в проекціях на осі має такий вигляд:

; (6)

де – нормальні, а – дотичні напруження, які діють на елемент рідини відповідно в площинах xy, xz та yz.

В ізотропній рідині, для якої є справедливим закон в’язкого тертя Ньютона (ньютонівські рідини), напруження, які діють на елемент рідини, пропорційні ґрадієнту швидкості, наприклад, , і т.д.

Підставивши ці вирази в систему рівнянь (6), одержимо:

. (7)

Кожний з доданків рівняння (7) має певний фізичний зміст. Перший доданок лівої частини описує нестаціонарність процесу, тобто визначає локальну зміну швидкості з часом у даній точці простору. Другий доданок описує зміну швидкості під час переходу від однієї точки простору до іншої, а оскільки зміна швидкості завжди пов’язана з інерційними ефектами, – описує інерційні сили. Перший доданок правої частини відображає вплив масових сил (тяжіння, відцентрових та ін.), другий – вплив ґрадієнта тиску, тобто джерела вимушеного руху рідини. Третій доданок правої частини враховує сили в’язкого опору переміщенню рідини. Одиниці всіх доданків рівняння (7) мають позначення Н/м³, тобто віднесені до одиниці об’єму.

Наведений клас рівнянь (1 – 7) описує гідродинаміку процесу.

8. Рівняння енергії при течії розплаву.

Рівняння енергії виводиться на підставі закону збереження енергії. На відміну від постановки задачі теплопровідності в даному випадку припускається, що тепловий потік підводиться не тільки теплопровідністю, але й конвекцією. При цьому вся підведена теплота йде на збільшення ентальпії рідини.

Скорочено рівняння енергії записується у вигляді

. (8)

Одиниця кожного з доданків рівняння (8) має позначення К/с. Таким чином, повна зміна температури (як і будь-якої іншої величини) є наслідком двох процесів: змінення температури в розглянутій точці з часом (локальна зміна) і змінення під час переходу з однієї точки простору в іншу (конвективна зміна).

Рівняння (8) можна записати і в розгорнутому вигляді:

(9)

або

. (10)

У лівій частині рівняння (9) перший доданок відображає зміну температури з часом, інші доданки – конвективні складові, пов’язані зі зміною температури внаслідок переміщення рідини. Перший доданок правої частини описує процес молекулярної теплопровідності, другий доданок – потужність внутрішніх джерел енергії (виділення енергії внаслідок хімічної реакції, протікання електричного струму), третій доданок враховує роботу сил об’ємного розширення, спричиненого зміненням температури. Четвертий і п’ятий доданки враховують виділення теплоти внаслідок зсувних деформацій у рідині. При цьому четвертий доданок описує вплив нормальних напружень, а п’ятий – дотичних.

Четвертий доданок правої частини ще називається функцією дисипації від дії нормальних напружень, а п’ятий – функцією дисипації від дії дотичних напружень. Інтенсивність виділення енергії внаслідок внутрішнього тертя дорівнює добутку сили на швидкість, а для одиниці об’єму, відповідно

.

Таким чином, величина q_ у даному випадку показує, яка кількість теплоти виділиться внаслідок в’язкого тертя в одиниці об’єму за одиницю часу.

Коли w_x = w_y = w_z = 0, то рівняння енергії (10) переходить у рівняння теплопровідності твердого тіла. Для стаціонарних процесів рівняння теж спрощується, тому що dT/d = 0.

Рівняння енергії можна розв’язати, якщо відомий розподіл швидкостей, тобто заздалегідь повинні бути розв’язані рівняння руху. Розв’язком рівняння енергії є функція, яка описує температурне поле. Якщо ця функція буде відомою, то з рівняння теплообміну можна визначити коефіцієнт тепловіддачі.

Слід відзначити, що рівняння (10) описує клас явищ і для того, щоб одержати його конкретне розв’язання, необхідно прийняти необхідні припущення та сформулювати відповідні умови однозначності.