38. Теорія розмірності та значення її при створенні математичних моделей.

Якщо існують диференціальні рівняння, які описують процес, то систему цих рівнянь можна розв’язати методом теорії подібності.

Якщо ж диференціальних рівнянь, які описують процес, не існує, ми можемо, покладаючись на свій досвід та інтуїцію, записати найзагальнішу залежність, наприклад, таку:

.

Тобто, нехай певний процес характеризують n величин, кожна з яких має розмірність, загальна кількість яких дорівнює m.

Основою теорії розмірностей є теорема Федермана–Букінгема (або -теорема), яка формулюється таким чином: загальна залежність між n змінними, які характеризують процес, з m основними одиницями їх виміру, може бути подана у вигляді залежності між (n – m) безрозмірними комплексами (критеріями подібності), складеними з цих змінних.

Розглянемо відомий уже приклад: обчислення об’ємної витрати рідини V_c в циліндричному каналі за умови її ламінарного руху.

Нехай диференціальне рівняння, яке описує процес, відсутнє. Запишемо загальну функційну залежність у вигляді:

.

Враховуючи, що визначенню підлягає V_c, запишемо цю залежність у вигляді степеневого рівняння

і підставимо позначення одиниці кожної з величин:

[м³/с] = С [Па/м]^x [Па  с]^y [м]^z.

Кількість змінних – чотири, одиниць виміру – три (Па, м, с). Враховуючи, що n – m = 1, ми, мабуть, повинні одержати один безрозмірний комплекс, який описує явище.

Запишемо:

м³  с^–1 = Па^x+y  м^–x+z  с^y;

Па: 0 = x + y;

м: 3 = –x + z;

с: –1 = y.

Розв’язавши систему рівнянь, одержимо, що x = 1, y = –1, z = 4. Отже,

,

або у вигляді безрозмірного комплексу:

. (16.8)

Нами одержано той самий критерій, що й після розв’язання диференціального рівняння методом теорії подібності (16.5).

Якщо неможливо скласти математичну модель, то можна розкрити загальну залежність за допомогою теорії розмірностей, основою якої є теорема Федермана–Букінгема (або -теорема), яка формулюється таким чином: загальна залежність між n змінними, які характеризують процес, з m основними одиницями їх виміру, може бути подана у вигляді залежності між (n – m) безрозмірними комплексами (критеріями подібності), складеними з цих змінних.

Метод теорії розмірностей відрізняється від загального методу теорії подібності на етапі одержання критеріїв.

Але, незважаючи на спосіб розв’язання задачі, найголовнішим критерієм і методом оцінки одержаних результатів є експеримент, практика.