29. Умови рішення задач теплообміну при охолодженні виробів з полімерів.

Умови однозначності для рішення задач теплообміну при охолодженні виробів з полімерів

Основним завданням теплового розрахунку є встановлення функціональної залежності Т=f(x,y,z,t) і визначення на підставі цього кількості теплоти, котре згідно закону Фур’є дорівнює

, (2.1)

де q – питомий тепловий потік; п – відстань між двома ізотермічними поверхнями вздовж нормалей до них (з визначення градієнту температури).

Для розв’язання конкретних задач теплообміну необхідні додаткові умови, котрі зроблять систему рівнянь замкненою, тобто необхідні умови однозначності.

Щоб одержати загальний розв'язок задачі, умови однозначності повинні містити умови: геометричні, фізичні, крайові, межові.

Геометричні, фізичні та крайові умови

геометричні умови, які задають форму й розміри тіла, в якому відбувається процес теплопровідності;

фізичні умови, тобто фізичні параметри тіла, задані у вигляді констант або температурних залежностей λ = λ(Т); с = с(Т); ρ = ρ(Т); μ = μ(Т), а також закон розподілу внутрішніх джерел енергії q_v = f(х,у,z,t);

крайові умови, які складаються з початкових і межових умов.

Початкові умови задаються у вигляді закону розподілу температур усередині тіла на початковий момент часу, тобто при t = 0: Т(0,х,у,z) = f(х,у,z), причому, ця функція відома.

Часто як початкова умова приймається, що температура тіла стала, тобто, коли t = 0, Т_c == сопst.

Рис.1. До завдання початкових умов.

Граничні умови першого, другого, третього та четвертого родів

Межові умови характеризують процеси, які відбуваються на межах тіла й можуть бути задані таким чином:

а) межова умова першого роду: задається закон розподілу температур на поверхні тіла на будь-який момент часу:

Т_п=f(t,x,у,z). (2.2)

б) межова умова другого роду полягає в завданні величини теплового потоку на поверхні тіла на будь-який момент часу:

q_n=f (t,х,у,z). (2.3)

Найпростіший випадок (сталість теплового потоку на поверхні тіла q_n = сопst) може зустрічатися, наприклад, за наявності електронагрівання (опору або індукційного), під час термічного оброблення виробів, термостатування тощо;

в) межова умова третього роду. У цьому випадку задається температура навколишнього середовища і закон теплообміну між твердою поверхнею й середовищем у вигляді:

q = α(T_c - Т_р), або Q = α(T_c - Т_р)Ft, (2.4)

де Q – тепловий потік.

Рівняння (2.4) є математичним записом закону Ньютона-Ріхмана, який відображає закономірність теплообміну на межі поділу тверде тіло – рідина і формулюється таким чином: кількість теплоти, що віддається за визначений час поверхнею твердого тіла рідині, яка його оточує, пропорційна різниці температур між поверхнею тіла і рідиною.

Коефіцієнт пропорційності при цьому має назву коефіцієнта тепловіддачі:

α = q/(T_c - Т_р). (2.5)

Коефіцієнт тепловіддачі - це кількість теплової енергії, яка віддається твердою стінкою рідині крізь одиницю площі ізотермічної поверхні протягом одиниці часу, коли різниця температур стінки і рідини становить один градус.

Слід вказати на відмінність між коефіцієнтом теплопровідності λ і коефіцієнтом тепловіддачі α. Коефіцієнт теплопровідності характеризує передачу теплоти всередині тіла, у той час як коефіцієнт тепловіддачі характеризує умови теплообміну на межі двох тіл: твердого і рідкого.

Відповідно до закону збереження енергії:

α(Т_с - Т_р) =-λ_с і α(Т_с - Т_р) = -λ_р (2.6)

Вирази (1.6) є математичним формулюванням межових умов третього роду. У першому виразі записано градієнт температур твердого тіла поблизу його поверхні, у другому – градієнт температур рідини поблизу твердої поверхні, тобто, у пограничному шарі. Той чи інший запис межових умов третього роду залежить від того, яка задача розв'язується, внутрішня або зовнішня.

Рівності (1.6) одержано за законом Ньютона-Ріхмана Q = а(Т_с – Т_p)Ft і законом теплопровідності Фур’є Q = -λ_р(дТ/дп)Ft тому, що крізь пограничний шар теплота передається внаслідок теплопровідності.

Закон теплопровідності Фур’є для пограничного шару рідини товщиною δ при умові, що градієнт температури в цьому шарі є сталим, має вигляд:

, (2.7)

звідки α = λ_р/δ.

Таким чином, коефіцієнт тепловіддачі характеризує процеси, які відбуваються в пограничному шарі. А оскільки товщина пограничного шару δ залежить від швидкості руху рідини, її густини, температури, в’язкості і т.д., то і α = f(v,ρ,T,μ,....), тобто коефіцієнт тепловіддачі є складною функцією багатьох змінних.

Якщо α → , а λ_р →0, то межова умова третього роду набуде вигляду

, звідки Т_с →Т_р. (2.8)

Таким чином, чим більше коефіцієнт тепловіддачі α, тим меншою буде різниця температур Т_с– Т_р, тобто, якщо α→ , температура поверхні твердого тіла дорівнюватиме температурі рідини. Звідси виходить, що межова умова першого роду є частковим випадком межової умови третього роду, коли α/λ_р→ ;

г) межова умова четвертого роду описує умови на межі поділу двох фаз (найчастіше, твердих), а теплообмін між ними відбувається за законом теплопровідності. При цьому вважається, що контакт на стику фаз є ідеальним.

Це, як правило, стик твердих тіл, хоча можуть бути також і рідини. Математично межова умова четвертого роду записується у вигляді:

, (2.9)

або , звідки λ₁/λ₂=tgφ₁/tgφ₂ = const/

Таким чином, диференціальне рівняння нестаціонарної теплопровідності, що описує процес термообробки виробів з полімерів, разом з умовами однозначності (2.2...2.9) є математичною моделлю конкретної задачі теплопровідності. Далі задача може бути розв'язана як теоретично (аналітичним або числовим методом), так і експериментально.

Рис.2. До визначення межових умов IV роду