4.3.Основное уравнение равномерного движения

Найдем общее выражение для потерь напора на трение при равномерном движении жидкости в трубах, которое справедливо и для ламинарного и для турбулентного режимов движения. При равномерном движении средняя скорость и распределение скоростей по сечению должны оставаться неизменными по длине трубопровода, поэтому равномерное движение возможно лишь в трубах постоянного сечения.

Составляя уравнение Бернулли для двух сечений трубопровода постоянного сечения (см. рис. 4.4) и учитывая, что для горизонтальной трубы z₁ = z₂ и средние скорости в сечениях равны v₁ = v₂, а из потерь напора будут только потери напора на трение h_тр, имеем:

(4.0)

Уравнение (4.8) является основным уравнением равномерного движения жидкости в трубопроводах. При известных отметках положения трубопровода (z₁ и z₂ заданы) и давления в одном из сечений это уравнение позволяет найти давление в другом сечении. Для этого нужно только определить потерянную энергию h_тр.

Р ис. 4.30 – к выводу уравнения равномерного движения.

Основному уравнению равномерного движения жидкости в трубопроводах можно придать также другой вид. Для этого выделим в трубопроводе радиусом r₀ между сечениями 1–1 и 2-2 соосный цилиндр радиусом r и длиной l (рис. 4.4). На этот цилиндр со стороны окружающей жидкости действуют силы: в сечении 1-1 сила давления равная P₁ = p₁  r², в сечении 2-2 сила давления равная P₂ = p₂  r² и на боковую поверхность сила трения равная T = 2  r l . Так как движение равномерное, то сумма действующих на цилиндр сил равна нулю: P₁ - P₂ - T = 0. Уравнение динамического равновесия рассматриваемого цилиндра можно записать в виде

(4.0)

где  – сила сопротивления на единице площади поверхности жидкости цилиндра (касательное напряжение).

Разделив обе части этого уравнения на 2 л r l, получим:

.

(4.0)

Если выразить разность давлений через потери напора на трение получим:

(4.0)

Касательное напряжение распределяется по линейному закону (см. рис. 4.4) - оно равно нулю на оси трубы и принимает максимальное значение ₀ на стенке (r = r₀), где ₀=  g h_тр r₀ /(2 l). Отсюда следует:

(4.0)

Уравнение (4.11) представляет собой общее выражение для потерь напора при равномерном движении жидкости в трубопроводах круглого сечения. Это уравнение в одинаковой мере применимо как к ламинарному, так и к турбулентному режиму.

4.4.Ламинарный режим движения

Ламинарный режим движения существует в трубах, если число Рейнольдса меньше критического числа Рейнольдса Re < Re_кр = 20002320. Закон Ньютона внутреннего трения для круглой трубы запишется

.

(4.0)

Подставляя касательные напряжения в уравнение равномерного движения, получим:

.

(4.0)

Разделим переменные, для этого дифференциал скорости перенесём в левую часть уравнения, а всё остальное в правую

.

(4.0)

Интегрируем это уравнение в пределах от радиуса r, где местная скорость равна u, до радиуса трубы r0. где скорость равна нулю:

,

(4.0)

Тогда распределение скорости в поперечном сечении трубы при ламинарном режиме движение происходит по параболическому закину

,

(4.0)

Расход жидкости равен сумме расходов по элементарным струйкам, имеющим площадь кольца d = 2  r d r

.

(4.0)

Средняя скорость в трубе равна

.

(4.0)

Из последней формулы следует, что средняя скорость в трубе при ламинарном режиме движения равна половине максимальной скорости. Из последней формулы найдем потери напора на трение

.

(4.0)

Эта формула носит название формулы Пуазейля. Из неё следует, что потери напора на трение пропорциональны средней скорости в трубе и обратно пропорциональны квадрату радиуса трубы. Но в общем случае потери напора на трение рассчитываются по формуле Дарси-Вейсбаха, поэтому сравнивая формулы (4.19) и (4.3)

(4.0)

получим значение для коэффициента гидравлического трения

(4.0)