2.5.Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выберем в покоящейся жидкости объём в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат и размером x, y, z рис. 2.3. Рассмотрим силы, которые действуют на параллелепипед вдоль оси x. Массовые силы F_x действуют на всю массу m и равны

(2.0)

Поверхностные силы действуют на поверхность параллелепипеда. На левую и правую грань действуют нормальные напряжения (давление), поэтому, если известна площадь грани y z и давления на гранях эти силы будут равны:

(2.0)

Р ис. 2.3

Касательные напряжения должны действовать на боковые, относительно оси x, поверхности. Но так, как касательные напряжения возникают только при движении жидкости из-за сил трения, то они равны нулю. Запишем уравнение равновесия жидкости вдоль оси x

.

(2.0)

Разделим последнее уравнение на массу параллелепипеда и устремим размеры параллелепипеда к нулю, тогда получим:

.

(2.0)

Здесь мы воспользовались определением частной производной

.

(2.0)

Аналогично можно получить уравнения равновесия жидкости для осей y и z. Тогда полная система уравнений запишется:

(2.0)

Умножим каждое из уравнения соответственно на dx, dy, dz и сложим их, тогда получим

(2.0)

Последнее уравнение называется основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости.

2.6.Поверхность равного давления и ее свойства

Поверхностью равного давления (поверхностью уровня) – называется это такая поверхность, во всех точках которой давление имеет одно и то же значение. Поэтому разность давлений в разных точках этой поверхности равна нулю dp = 0. Тогда, исходя из дифференциальных уравнений равновесия жидкости, уравнение поверхности равного давления запишется

.

(2.0)

1. X, Y, Z– ускорения массовых сил.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

Рис. 2.4

Первое свойство поверхности равного давления - поверхности равного давления не пересекаются между собой. Допустим, что поверхность с давлением p₁ пересекается с поверхностью, на которой давление p₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и p₁ и p₂ , что не возможно, т.к. p₁ не равно p₂, следовательно, пересечения этих поверхностей невозможно.

Второе свойство поверхности равного давления - массовые силы направлены перпендикулярно к поверхности равного давления. Доказать это положение можно следующим образом. Рассмотрим вектор массовой силы dF = dm(X i + Y j +Z k) и вектор смещения координаты точки вдоль поверхности равного давления dr = dx i + dy j +dz k. Найдем скалярное произведение этих векторов (dF·dr) = dm (X dx + Y dy +Z dz) =0. Скалярное произведение этих векторов обращается в ноль, так как выполняется уравнение поверхности равного давления ( 2 .0). А скалярное произведение векторов равно нулю, если они перпендикулярны, что и доказывает второе свойство.

Следствие второго свойства поверхности равного давления - в поле силы тяжести в однородной жидкости поверхностью равного давления является любая горизонтальная поверхность. Жидкость называется однородной, если из одной точки жидкости можно перейти в другую точку жидкости не пересекая твердых стенок и других жидкостей. Действительно, сила тяжести направлена вниз, поэтому поверхность равного давления должна быть горизонтальной.